Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=y^2e^-x

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a equação diferencial informada pelo enunciado: y'=y^2e^-x. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis e a gente vai precisar usar a ideia de separar as variáveis y e x em lados diferentes para depois integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que e^-x no denominador sobe pro numerador como e^x. Assim a gente reescreve a equação como y'=y^2e^x, lembrando que y'=dydx.

Passo 3

Agora vem a separação de variáveis: colocamos todos os termos com y num lado e os termos com x no outro. Aí fica assim:

Passo 4

dyy^2=e^x,dx

Passo 5

Em seguida, aplicamos a integração dos dois lados. Do lado esquerdo usamos a regra integral y^-2dy=-y^-1+constante. Do lado direito é a integral de e^x. Ficamos com:

Passo 6

integraldyy^2=integral e^x,dxLongrightarrow -1y=e^x+C,

Passo 7

Por fim, é só isolar y. A gente multiplica por -1 e inverte pra ter y sozinho: isso dá 1y=-e^x-C, que a gente pode chamar de constante nova C'= -C. Então

Passo 8

sozinho é

Passo 9

1y=C'-e^x

Passo 10

e invertendo a fração chegamos na solução geral.

Resposta

y = \frac{1}{C - e^x}, onde C é a constante de integração.

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