Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a equação diferencial informada pelo enunciado:
. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis e a gente vai precisar usar a ideia de separar as variáveis
e
em lados diferentes para depois integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que
no denominador sobe pro numerador como
. Assim a gente reescreve a equação como
, lembrando que
.
Passo 3
Agora vem a separação de variáveis: colocamos todos os termos com
num lado e os termos com
no outro. Aí fica assim:
Passo 4
Passo 5
Em seguida, aplicamos a integração dos dois lados. Do lado esquerdo usamos a regra
. Do lado direito é a integral de
. Ficamos com:
Passo 6
Passo 7
Por fim, é só isolar
. A gente multiplica por
e inverte pra ter
sozinho: isso dá
, que a gente pode chamar de constante nova
. Então
Passo 8
sozinho é
Passo 9
Passo 10
e invertendo a fração chegamos na solução geral.
Resposta
y = \frac{1}{C - e^x}, onde C é a constante de integração.