Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=e^x+3 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = e^x+3y
Trata-se de uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever o lado direito como produto de função de x por função de y.

Passo 2

Separe y e x em lados opostos. Escrevendo y'=dydx e usando e^x+3y=e^x,e^3y, temos
dydx = e^x,e^3y ;;Longrightarrow;; e^-3y,dy = e^x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral e^-3y,dy = integral e^x,dx
No lado esquerdo,
integral e^-3y,dy = -tfrac13e^-3y,
e no direito
integral e^x,dx = e^x + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
-13e^-3y = e^x + C

Passo 4

Isolando e^-3y e depois y:
e^-3y = -3l(e^x + Cr) = C1 - 3e^x,
onde definimos C1=-3C. Finalmente, aplicando logaritmo:
y = -13ln!l(C1 - 3e^xr)

Resposta

y(x) = -13ln!l(C - 3e^xr),
onde C é constante arbitrária (ajustada conforme as condições iniciais e o domínio onde C - 3e^x>0).

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