Resolva as equações diferenciais abaixo:
b) y^prime=x ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dada por y' = xln(x). O conteúdo envolvido é integração de uma função de x para encontrar y(x), e vamos precisar usar a técnica de integração por partes para resolver integral xln(x),dx.

Passo 2

Como temos y' = dydx = xln(x), podemos integrar ambos os lados em relação a x para obter y(x):
y(x) = integral xln(x),dx + C

Passo 3

Para calcular integral xln(x),dx, usamos integração por partes. Escolhemos:
u &= ln(x) & dv &= x,dx du &= 1x,dx & v &= integral x,dx = x^22
Então,
integral xln(x),dx = u,v - integral v,du = x^22ln(x) - integral x^22 cdot 1x,dx

Passo 4

Continuando a integral:
integral x^22 cdot 1x,dx = 12 integral x,dx = 12 cdot x^22 = x^24
Logo,
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - x^24 + C
Portanto, a solução geral da equação diferencial é obtida substituindo essa integral em y(x).

Resposta

y = x^22ln(x) - x^24 + C

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