Resolva as equações diferenciais abaixo:
x^{2} e^{x} y^{\prime}=-e^{x}\left(x^{2}+2 x\right) \operatorname{tg}(y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}e^{x}y' = -e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr)\tan(y),
e pede a solução geral. Reconhecemos que é uma equação separável, pois podemos isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por e^{x} e rearranjando, obtemos
x^2 \frac{dy}{dx} = -\bigl(x^2+2x\bigr)\tan(y).
Agora separamos variáveis:
\frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy = -\Bigl(1 + \frac{2}{x}\Bigr)\,dx.
Integramos cada lado:
\int \frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy = \int \Bigl(-1 - \frac{2}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculando as integrais:
\ln\bigl|\sin(y)\bigr| = -x - 2\ln\bigl|x\bigr| + C.
Exponentiando,
\bigl|\sin(y)\bigr| = e^{C}\,e^{-x}\,x^{-2}.
Renomeando a constante geral como K (podendo absorver o sinal),
\sin(y) = K\,x^{-2}e^{-x}.

Resposta

\displaystyle \sin(y) = C\,x^{-2}e^{-x},\quad C\in\mathbb{R}.

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