Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=x^{-3}\left(-e^{x}-4 x^{2} y\right), sujeita à condição inicial y(-1)= 0, x<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = x^{-3}\bigl(-e^x - 4x^2y\bigr)
com condição inicial y(-1)=0 para x<0. Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, que escreveremos na forma
y' + p(x)\,y = q(x)
e resolveremos usando fator integrante.

Passo 2

Escrevendo a equação na forma padrão, temos
y' + \frac{4}{x}\,y = -\,x^{-3}e^x.
O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{4}{x}\,dx\Bigr) = x^4.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
x^4y' + 4x^3y = -x e^x
e reconhecemos no lado esquerdo a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^4y\bigr) = -x e^x.

Passo 4

Integrando ambos os lados resulta em
x^4y = -\int x e^x\,dx + C.
Como
\int x e^x\,dx = x e^x - e^x,
segue
x^4y = -\bigl(x e^x - e^x\bigr) + C = -e^x(x - 1) + C.

Passo 5

Isolando y obtemos
y = \frac{-e^x(x - 1) + C}{x^4}.

Passo 6

Para determinar C, usamos y(-1)=0. Substituindo x=-1 e y=0
0 = \frac{-e^{-1}(-1 - 1) + C}{(-1)^4} = 2e^{-1} + C,
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C = -2e^{-1}.

Resposta

y = \frac{-e^x(x - 1) - 2e^{-1}}{x^4} = x^{-4}\bigl(e^x(1 - x) - 2e^{-1}\bigr), \quad x<0.

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