Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo-as à primeira ordem.
x^2 y^prime prime+3 x y^prime=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x^2y''+3x,y'=2
reduzindo-a a uma equação de primeira ordem. Vamos usar a técnica de redução de ordem definindo
p(x)=y'(x)
e então resolver um problema de primeira ordem para p, antes de integrar para obter y.

Passo 2

Com p=y' temos y''=dp/dx. Substituindo em
x^2dpdx+3x,p=2
ficamos com uma equação linear de primeira ordem em p.

Passo 3

Dividindo por x^2 (supondo xneq0) obtemos
dpdx+3x,p=2x^2
O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral3x,dxr)=x^3
Multiplicando por mu
x^3dpdx+3x^2p=2x,
que é exatamente
ddxl(x^3pr)=2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3p=integral 2x,dx = x^2+C1,
logo
p=y'=x^2+C1x^3=x^-1+C1x^-3

Passo 5

Agora basta integrar y'=x^-1+C1x^-3:
y(x)=integrall(x^-1+C1x^-3r),dx =ln|x| - C12x^-2 + C2,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

y(x)=ln|x|-C12x^-2+C2

Exercícios relacionados