Resolva os PVIs abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária com uma condição inicial:
Vamos resolver essa equação utilizando o método de Bernoulli. Esse método é útil para equações que têm a forma
. Precisamos identificar
,
e
para aplicar a técnica corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma a deixá-la no padrão de Bernoulli. Observe que:
Podemos reorganizar os termos para ficar:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 3
No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
Agora, vamos calcular a derivada de
com relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
, temos:
Simplificando:
Como
, substituímos:
Essa é uma equação linear em termos de
.
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Resolver essa integral pode ser complexo e, em alguns casos, pode não ser expressável em termos de funções elementares. Para avançar, podemos deixar a solução em termos da integral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
, temos:
Aplicando a condição inicial
para determinar
, mas a integral pode requerer métodos numéricos ou funções especiais para ser resolvida explicitamente.