Resolva os PVIs abaixo:
d yd t=(2 cos t+1) y-(cos t+12) y^3, y(pi2)=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária com uma condição inicial:
dydt = (2 cos t + 1) y - (cos t + 12) y^3, y(pi2) = 1
Vamos resolver essa equação utilizando o método de Bernoulli. Esse método é útil para equações que têm a forma dydt + P(t) y = Q(t) y^n. Precisamos identificar P(t), Q(t) e n para aplicar a técnica corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma a deixá-la no padrão de Bernoulli. Observe que:
dydt = (2 cos t + 1) y - (cos t + 12) y^3
Podemos reorganizar os termos para ficar:
dydt - (2 cos t + 1) y = -(cos t + 12) y^3
Aqui, identificamos que P(t) = -(2 cos t + 1), Q(t) = -(cos t + 12) e n = 3.

Passo 3

No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação não linear em uma equação linear. Definimos:
z = y^1 - n = y^-2
Agora, vamos calcular a derivada de z com relação a t:
dzdt = -2 y^-3 dydt

Passo 4

Substituindo dydt da equação original na expressão de dzdt, temos:
dzdt = -2 y^-3 [(2 cos t + 1) y - (cos t + 12) y^3]
Simplificando:
dzdt = -2 (2 cos t + 1) y^-2 + 2 (cos t + 12)
Como z = y^-2, substituímos:
dzdt + 2 (2 cos t + 1) z = 2 (cos t + 12)
Essa é uma equação linear em termos de z.

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante mu(t):
mu(t) = e^integral 2 (2 cos t + 1) dt = e^4 sin t + 2 t
Multiplicamos toda a equação por mu(t):
e^4 sin t + 2 t dzdt + 2 (2 cos t + 1) e^4 sin t + 2 t z = 2 (cos t + 12) e^4 sin t + 2 t
Isso simplifica para:
ddt (z cdot e^4 sin t + 2 t) = 2 (cos t + 12) e^4 sin t + 2 t

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t:
z cdot e^4 sin t + 2 t = integral 2 (cos t + 12) e^4 sin t + 2 t dt + C
Onde C é a constante de integração. Resolver essa integral pode ser complexo e, em alguns casos, pode não ser expressável em termos de funções elementares. Para avançar, podemos deixar a solução em termos da integral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
z(t) = e^-4 sin t - 2 t ( integral 2 (cos t + 12) e^4 sin t + 2 t dt + C )
Substituindo z = y^-2, temos:
y(t) = [ e^-4 sin t - 2 t ( integral 2 (cos t + 12) e^4 sin t + 2 t dt + C ) ]^-1/2
Aplicando a condição inicial y(pi2) = 1 para determinar C, mas a integral pode requerer métodos numéricos ou funções especiais para ser resolvida explicitamente.

Exercícios relacionados