Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo-as à primeira ordem.
y y^prime prime+(y^prime)^2=y y^prime, com y, y^prime>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y,y'' + l(y'r)^2 = y,y',
com as condições y>0 e y'>0. O conteúdo aqui é redução de ordem, reconhecendo que o lado esquerdo é a derivada de y,y'.

Passo 2

Observamos que
ddxl(y,y'r) = y',y' + y,y'' = l(y'r)^2 + y,y'',
portanto a equação pode ser reescrita como
ddxl(y,y'r) = y,y'

Passo 3

Definimos a nova função u = y,y'. Assim a equação fica
u' = u
Essa é uma equação de primeira ordem e variáveis separáveis ou de coeficientes constantes, cuja solução geral é
u = C,e^x,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando a y, temos
y,dydx = C,e^x
Isso é separável. Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral C,e^x,dx Longrightarrow 12y^2 = C,e^x + D,
onde D é outra constante de integração.

Passo 5

Isolando y e dando nomes novos às constantes ( A=2C, B=2D), obtemos
y^2 = A,e^x + B,
e, como queremos y>0,
y = raizA,e^x + B,
com A,B constantes arbitrárias (ajustadas conforme as condições iniciais, se houver).

Resposta

y(x) = raizA,e^x + B,
com A,B constantes de integração e y>0.

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