Resolva as equações diferenciais abaixo, reduzindo-as à primeira ordem.
, com
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
com as condições
e
. O conteúdo aqui é redução de ordem, reconhecendo que o lado esquerdo é a derivada de
.
Passo 2
Observamos que
portanto a equação pode ser reescrita como
Passo 3
Definimos a nova função
. Assim a equação fica
Essa é uma equação de primeira ordem e variáveis separáveis ou de coeficientes constantes, cuja solução geral é
onde
é constante de integração.
Passo 4
Voltando a
, temos
Isso é separável. Integramos ambos os lados:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Isolando
e dando nomes novos às constantes (
,
), obtemos
e, como queremos
,
com
constantes arbitrárias (ajustadas conforme as condições iniciais, se houver).
Resposta
com
constantes de integração e
.