Resolva os PVIs abaixo:
d yd t=2 y+raizt^2-y^22 t, y(1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem uma equação que relaciona a derivada de y em relação a t com y e t . O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação e também a condição inicial y(1) = 1 . Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, como substituições e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que pode simplificar a equação. Vamos definir z = yt . Isso significa que y = z cdot t . Essa substituição é útil porque muitas vezes ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a t usando a regra do produto. Temos:
dydt = z + t cdot dzdt
Isso vem de derivar y = z cdot t .

Passo 4

Vamos substituir dydt na equação original pela expressão que acabamos de encontrar:
z + t cdot dzdt = 2y + raizt^2 - y^22t
Lembrando que y = z cdot t , substituímos:
z + t cdot dzdt = 2(z cdot t) + raizt^2 - (z cdot t)^22t

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
2z t + t raiz1 - z^22t = 2z + raiz1 - z^22
Então, nossa equação fica:
z + t cdot dzdt = 2z + raiz1 - z^22
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2z + 2t cdot dzdt = 2z + raiz1 - z^2
Subtraindo 2z de ambos os lados:
2t cdot dzdt = raiz1 - z^2

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis z e t :
dzraiz1 - z^2 = dt2t
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 7

Integrando os dois lados:
integral dzraiz1 - z^2 = integral dt2t
A integral do lado esquerdo é arcsin(z) + C e a do lado direito é 12 ln |t| + C . Ignorando as constantes de integração, temos:
arcsin(z) = 12 ln t + C
Resolvendo para z :
z = sin( 12 ln t + C )

Passo 8

Lembrando que z = yt , substituímos de volta:
yt = sin( 12 ln t + C )
Multiplicando ambos os lados por t :
y = t cdot sin( 12 ln t + C )
Agora, aplicamos a condição inicial y(1) = 1 :
1 = 1 cdot sin( 12 ln 1 + C )
Sabendo que ln 1 = 0 :
1 = sin(C)
Portanto, C = pi2 .

Passo 9

Substituindo C = pi2 na expressão para y :
y = t cdot sin( 12 ln t + pi2 )
Usando a identidade trigonométrica sin(A + pi2) = cos(A) :
y = t cdot cos( 12 ln t )

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = t cdot cos( 12 ln t )

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