Resolva os PVIs abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem uma equação que relaciona a derivada de
em relação a
com
e
. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também a condição inicial
. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem, como substituições e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que pode simplificar a equação. Vamos definir
. Isso significa que
. Essa substituição é útil porque muitas vezes ajuda a tornar a equação mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto. Temos:
Isso vem de derivar
.
Passo 4
Vamos substituir
na equação original pela expressão que acabamos de encontrar:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Então, nossa equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 7
Integrando os dois lados:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
. Ignorando as constantes de integração, temos:
Resolvendo para
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabendo que
:
Portanto,
.
Passo 9
Substituindo
na expressão para
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A solução da equação diferencial é