Resolva as equações diferenciais abaixo.
(x+1) \frac{d y}{d x}+(x+2) y=2 x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (achar y(x) geral):
(x+1)\frac{dy}{dx}+(x+2)y=2x e^{-x}.
Informações dadas:
  • A equação envolve a função desconhecida y(x).
  • O coeficiente da derivada é x+1, portanto a equação é válida para x\neq -1 (porque em x=-1 multiplicador anula o termo diferencial).
  • Não há condição inicial fornecida, logo será obtida a solução geral contendo constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x). Para isso divide-se toda a equação por x+1 (valendo para x\neq-1):
\frac{dy}{dx}+\frac{x+2}{x+1}\,y=\frac{2x e^{-x}}{x+1}.
Aqui identificamos:
p(x)=\frac{x+2}{x+1},\qquad q(x)=\frac{2x e^{-x}}{x+1}.

Passo 3

Vamos simplificar p(x). Observe que
\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}.
Isso torna mais fácil integrar p(x) depois. Reescrevendo:
p(x)=1+\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Método: aplicar o fator integrante. Lembrete rápido (o que é e por que funciona):
  • Para uma equação linear de primeira ordem y'+p(x)y=q(x), o fator integrante \mu(x) é definido por \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda vira a derivada produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big), o que facilita a integração.
Calculemos \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int\left(1+\frac{1}{x+1}\right)dx\right) =\exp\!\left(x+\ln|x+1|\right).
Usando propriedades de exponenciais:
\mu(x)=e^{x}\,|x+1|.
Como estamos trabalhando em intervalos onde x+1 mantém sinal (por exemplo x>-1 ou x<-1), podemos escolher \mu(x)=e^{x}(x+1) (o sinal absoluto apenas altera a constante de integração depois). Assim tomamos:
\mu(x)=e^{x}(x+1).

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x). A esquerda vira derivada de produto:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)\,q(x).
Substituindo \mu e q:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\,y\big)=e^{x}(x+1)\cdot\frac{2x e^{-x}}{x+1}.
No lado direito podemos simplificar e^{x} com e^{-x} e x+1 com x+1:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\,y\big)=2x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}(x+1)\,y\big)\,dx=\int 2x\,dx.
Isso dá
e^{x}(x+1)\,y = x^{2}+C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolamos y:
y(x)=\frac{x^{2}+C}{e^{x}(x+1)}.
Podemos também escrever como
y(x)=e^{-x}\,\frac{x^{2}+C}{x+1}.
Lembrando a restrição do domínio: x\neq -1. A constante C é arbitrária e real.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}+C}{e^{x}(x+1)},\qquad C\in\mathbb{R},\; x\neq -1.

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