Resolva as equações diferenciais abaixo.
(x+1) \frac{d y}{d x}+(x+2) y=2 x e^{-x}
(x+1) \frac{d y}{d x}+(x+2) y=2 x e^{-x}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial (achar
geral):
Informações dadas:
- A equação envolve a função desconhecida
. - O coeficiente da derivada é
, portanto a equação é válida para (porque em multiplicador anula o termo diferencial). - Não há condição inicial fornecida, logo será obtida a solução geral contendo constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação na forma padrão
. Para isso divide-se toda a equação por
(valendo para
):
Aqui identificamos:
Passo 3
Vamos simplificar
. Observe que
Isso torna mais fácil integrar
depois. Reescrevendo:
Passo 4
Método: aplicar o fator integrante. Lembrete rápido (o que é e por que funciona):
- Para uma equação linear de primeira ordem
, o fator integrante é definido por . - Multiplicando a equação por
a parte esquerda vira a derivada produto , o que facilita a integração.
Calculemos
:
Usando propriedades de exponenciais:
Como estamos trabalhando em intervalos onde
mantém sinal (por exemplo
ou
), podemos escolher
(o sinal absoluto apenas altera a constante de integração depois). Assim tomamos:
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. A esquerda vira derivada de produto:
Substituindo
e
:
No lado direito podemos simplificar
com
e
com
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Podemos também escrever como
Lembrando a restrição do domínio:
. A constante
é arbitrária e real.