Resolva as equações diferenciais abaixo usando as propriedades da transformada unilateral de Laplace, considerando ainda as condições iniciais listadas ao lado de cada equação.
y^prime prime(t)-y(t)=cosh (t) mid y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y''(t)-y(t)=cosh(t)
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando a transformada unilateral de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
Ly(s)=Y(s) e
Lcosh(t)(s)=dfracss^2-1.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''(t)-y(t)=cosh(t) obtemos
l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)-Y(s) =ss^2-1
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1, isso vira
(s^2Y(s)-1)-Y(s)=ss^2-1,
ou seja
(s^2-1),Y(s)-1=ss^2-1

Passo 3

Isolando Y(s), temos
(s^2-1),Y(s) =1+ss^2-1,
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Y(s) =1s^2-1+s(s^2-1)^2

Passo 4

Repare que já temos duas frações prontas para inverter pela tabela de Laplace:
dfrac1s^2-1 e dfracs(s^2-1)^2.

Passo 5

Usando
L^-1!ltfrac1s^2-1r(t)=sinh(t)
e a propriedade
Lt,sinh(t)(s)=tfrac2s(s^2-1)^2,
vemos que
L^-1!ls(s^2-1)^2r(t) =12,t,sinh(t)
Portanto
y(t)=sinh(t)+12,t,sinh(t)

Passo 6

Simplificando,
y(t)=l(1+tfract2r)sinh(t),
que satisfaz y(0)=0, y'(0)=1 e dá y''-y=cosh(t).

Resposta

y(t)=l(1+tfract2r)sinh(t)

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