Resolva as equações diferenciais abaixo usando as propriedades da transformada unilateral de Laplace, considerando ainda as condições iniciais listadas ao lado de cada equação.
y^prime prime(t)-4 y(t)=sen(2 t) mid y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''(t)-4,y(t)=sin(2t),
com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando a transformada unilateral de Laplace. Para isso vamos usar as propriedades
Ly'(t)=sY(s)-y(0) e
Ly''(t)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
além da tabela Lsin(2t)=2/(s^2+4).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação, obtemos
Ly''(t)-4,Ly(t) =Lsin(2t)
que vira
l(s^2Y(s)-scdot0-1r)-4Y(s)=2s^2+4
Simplificando,
(s^2-4),Y(s)-1=2s^2+4

Passo 3

Isolando Y(s),
(s^2-4),Y(s) =1+2s^2+4,
Y(s) =1s^2-4+2(s^2-4)(s^2+4)

Passo 4

Para fazer a inversão, decompomos em frações parciais. Primeiro escrevemos
2(s^2-4)(s^2+4) =2(s-2)(s+2)(s^2+4) =As-2+Bs+2+Cs+Ds^2+4
Multiplicando pelos denominadores e igualando coeficientes, resolve-se o sistema e encontra-se
A=116, B=-116, C=0, D=-14
Logo
Y(s) =1s^2-4 +1161s-2 -1161s+2 -141s^2+4
Ainda,
1s^2-4 =14l(1s-2-1s+2r),
de onde
Y(s) =5161s-2 -5161s+2 -141s^2+4

Passo 5

Agora invertemos cada termo usando tabelas:
L^-1ltfrac1s-2r=e^2t, L^-1ltfrac1s+2r=e^-2t, L^-1ltfrac1s^2+4r=tfrac12sin(2t)
Portanto
y(t) =516e^2t-516e^-2t -14cdot12sin(2t) =58sinh(2t)-18sin(2t)

Resposta

y(t)=58sinh(2t)-18sin(2t)

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