Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-4 y=2 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' - 4y = 2e^{3x}
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar de dois ingredientes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea
y'' - 4y = 0.
Assumimos y = e^{rx}, o que leva à equação característica
r^2 - 4 = 0.
As raízes são r = 2 e r = -2. Portanto
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' - 4y = 2e^{3x}.
Como o termo forçante é da forma e^{3x} e 3 não é raiz da característica, tentamos
y_p = A e^{3x}.
Então
y_p' = 3A e^{3x}, \quad y_p'' = 9A e^{3x}.
Substituindo em y'' - 4y
9A e^{3x} - 4A e^{3x} = 5A e^{3x}
que deve ser igual a 2e^{3x}. Logo
5A = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2}{5}.
Assim
y_p = \frac{2}{5}e^{3x}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma de y_h com y_p:
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{2}{5}e^{3x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \frac{2}{5}e^{3x}.

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