4^{\text {a }} QUESTĀO ( 1,5 \mathrm{pt} ) O espaço entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios R_{1}=R e R_{2}=2 R é preenchido por uma substância dielétrica cuja constante dielétrica é \boldsymbol{k}. Sabendo-se que uma diferença de potencial \boldsymbol{V} é aplicada e mantida por uma fonte entre as duas cascas, calcule o campo elétrico na região entre as placas.
Considere que todos os dados estão no SI e apresente suas respostas em função dos dados literais R, K, V, da permissividade do vácuo \varepsilon 0, e da distância radial r, se for necessário.
\begin{array}{ll} E=\frac{q}{4 \pi k \varepsilon_{0} r^{2}} & \Delta V=-\int_{R}^{2 R} E d s=\frac{q}{4 \pi k \varepsilon_{0} R}-\frac{q}{4 \pi h \varepsilon_{0} 2 r} \\\ \Delta V=\frac{q}{8 \pi k \varepsilon_{0} R} & C=\frac{q}{V}=8 \pi k \varepsilon_{0} R \\\ E=\frac{C V}{4 \pi R \varepsilon_{0} r^{2}}=\frac{8 \pi k \varepsilon_{0} R V}{4 \pi k r^{2}}=\frac{2 R V}{r^{2}}(\mathrm{~V} / \mathrm{m}) \end{array}

Passo 1

O enunciado descreve duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios R_1=R e R_2=2R, com o espaço entre elas preenchido por um dielétrico de constante k. É aplicada entre as cascas uma diferença de potencial V. Queremos determinar o campo elétrico \mathbf{E}(r) na região dielétrica ( R\le r\le2R). O conteúdo usado será a Lei de Gauss em meios dielétricos e a relação entre potencial e campo elétrico.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Gauss para o campo de deslocamento \mathbf{D}. Num cilindro esférico de raio r tal que R\le r\le2R, temos
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=q_{\rm livre}\,.
Como \mathbf{D}=\varepsilon_0\,k\,\mathbf{E} e a área da esfera é 4\pi r^2, resulta
D(r)\,4\pi r^2 = q \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_0\,k\,E(r)\,4\pi r^2 = q
\boxed{E(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,k\,r^2}}\quad(R\le r\le2R)\,.

Passo 3

A diferença de potencial entre as cascas é
V = V(R)-V(2R) = -\int_{R}^{2R}E(r)\,dr = -\int_{R}^{2R}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,k\,r^2}\,dr =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\,k}\Bigl(\frac1{R}-\frac1{2R}\Bigr) =\frac{q}{8\pi\varepsilon_0\,k\,R}\,.

Passo 4

Isolando q em função de V, obtemos
q = 8\pi\varepsilon_0\,k\,R\,V\,.

Passo 5

Substituindo q em E(r)=q/(4\pi\varepsilon_0\,k\,r^2), vem
E(r)=\frac{8\pi\varepsilon_0\,k\,R\,V}{4\pi\varepsilon_0\,k\,r^2} =\frac{2R\,V}{r^2}\,.
O campo aponta radialmente (para fora, se a casca interna estiver a potencial maior).

Resposta

E(r)=\frac{2\,R\,V}{r^2}\quad\text{para }R\le r\le2R,
com direção radial.

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