A temperatura de um corpo,
, varia a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente circundante,
.
a) ( 0,5 ponto) Escreva a equação diferencial que modela o problema.
b) ( 1,5 pontos) Um objeto a
é colocado em um ambiente a
. Resolva a EDO com a condição inicial
.
c) ( 1,0 ponto) Sabendo que após 10 minutos a temperatura do objeto é de
, determine o valor da constante
.
a) ( 0,5 ponto) Escreva a equação diferencial que modela o problema.
b) ( 1,5 pontos) Um objeto a
c) ( 1,0 ponto) Sabendo que após 10 minutos a temperatura do objeto é de
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pedidos:
(a) escrever a equação diferencial que modela o enunciado;
(b) resolver a EDO para um objeto cujoem ambiente com temperatura ;
(c) usando a informação adicional, determinar a constante de proporcionalidade . - Dados fornecidos:
- Temperatura do ambiente:
. - Condição inicial:
. - Condição em
minutos: .
- Temperatura do ambiente:
- Informação qualitativa: a taxa de variação de
é proporcional à diferença entre e .
Passo 2
Modelagem — transformar a frase “taxa proporcional à diferença” em equação:
- "Taxa de variação de
" é . - “Proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente” significa proporcional a
. - Como a temperatura do objeto tende a se aproximar de
, quando a taxa é negativa. Isso leva à constante positiva com sinal negativo na equação.
Portanto a equação diferencial que modela o problema é
onde
é a constante de proporcionalidade e
é a temperatura ambiente.
Passo 3
Resolução da EDO (método e explicação das etapas):
- Defina
. Isto apenas desloca a temperatura para medir a diferença em relação ao ambiente. - Então
porque é constante. - Substituindo na equação:
- Esta é uma equação diferencial separável e padrão de decaimento exponencial. Podemos separar variáveis:
- Integramos ambos os lados (explicando: a integral de
é ; a integral de em é ):
onde
é constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados obtemos
onde
(um número real). Voltando para
:
- Interpretação: a solução diz que a diferença entre a temperatura do objeto e do ambiente decai exponencialmente com constante de decaimento
.
Passo 4
Aplicar a condição inicial
com
:
- Em
:
- Logo
- Substituindo em
obtemos a solução particular:
Passo 5
Determinar
usando
:
- Substituir
na solução:
- Isolar a exponencial:
- Tomando logaritmo natural e resolvendo para
:
- Cálculo numérico (aproximado):
, então
- Observação: o valor é positivo como esperado, e a unidade é
porque o tempo foi dado em minutos.
Passo 6
Pequena verificação e interpretação (útil para prova):
- Verificar rapidamente
usando encontrado:
confere com o dado.
- Interpretação prática: a diferença inicial de
decai exponencialmente; a constante diz quão rápido: tempo característico minutos (tempo em que a diferença cai a cerca de do valor inicial).
Resposta
(a)
(b)
(c)