A temperatura de um corpo, T(t), varia a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente circundante, T_{s}.
a) ( 0,5 ponto) Escreva a equação diferencial que modela o problema.
b) ( 1,5 pontos) Um objeto a 120^{\circ} \mathrm{C} é colocado em um ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}. Resolva a EDO com a condição inicial T(0)=120.
c) ( 1,0 ponto) Sabendo que após 10 minutos a temperatura do objeto é de 70^{\circ} \mathrm{C}, determine o valor da constante k.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pedidos:
    (a) escrever a equação diferencial que modela o enunciado;
    (b) resolver a EDO para um objeto cujo T(0)=120^\circ\mathrm{C} em ambiente com temperatura T_{s}=25^\circ\mathrm{C};
    (c) usando a informação adicional T(10)=70^\circ\mathrm{C}, determinar a constante de proporcionalidade k.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ambiente: T_{s}=25^\circ\mathrm{C}.
    • Condição inicial: T(0)=120^\circ\mathrm{C}.
    • Condição em t=10 minutos: T(10)=70^\circ\mathrm{C}.
  • Informação qualitativa: a taxa de variação de T(t) é proporcional à diferença entre T(t) e T_{s}.

Passo 2

Modelagem — transformar a frase “taxa proporcional à diferença” em equação:
  • "Taxa de variação de T" é \dfrac{dT}{dt}.
  • “Proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente” significa proporcional a T(t)-T_{s}.
  • Como a temperatura do objeto tende a se aproximar de T_{s}, quando T>T_{s} a taxa é negativa. Isso leva à constante positiva k>0 com sinal negativo na equação.
    Portanto a equação diferencial que modela o problema é
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_{s}\bigr),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade e T_{s} é a temperatura ambiente.

Passo 3

Resolução da EDO (método e explicação das etapas):
  • Defina u(t)=T(t)-T_{s}. Isto apenas desloca a temperatura para medir a diferença em relação ao ambiente.
  • Então \dfrac{du}{dt}=\dfrac{dT}{dt} porque T_{s} é constante.
  • Substituindo na equação:
\frac{du}{dt} = -k\,u.
  • Esta é uma equação diferencial separável e padrão de decaimento exponencial. Podemos separar variáveis:
\frac{du}{u} = -k\,dt.
  • Integramos ambos os lados (explicando: a integral de 1/u é \ln|u|; a integral de -k em t é -kt):
\int \frac{du}{u} = \int -k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|u| = -k t + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados obtemos
u(t) = C e^{-k t},
onde C=\pm e^{C_1} (um número real). Voltando para T:
T(t) = T_{s} + C e^{-k t}.
  • Interpretação: a solução diz que a diferença entre a temperatura do objeto e do ambiente decai exponencialmente com constante de decaimento k.

Passo 4

Aplicar a condição inicial T(0)=120^\circ\mathrm{C} com T_{s}=25^\circ\mathrm{C}:
  • Em t=0:
T(0)=T_{s}+C e^{-k\cdot 0}=T_{s}+C.
  • Logo
C = T(0)-T_{s} = 120 - 25 = 95.
  • Substituindo em T(t) obtemos a solução particular:
T(t) = 25 + 95\,e^{-k t}.

Passo 5

Determinar k usando T(10)=70^\circ\mathrm{C}:
  • Substituir t=10 na solução:
70 = 25 + 95\,e^{-10k}.
  • Isolar a exponencial:
95\,e^{-10k} = 70-25 = 45, \qquad e^{-10k} = \frac{45}{95} = \frac{9}{19}.
  • Tomando logaritmo natural e resolvendo para k:
-10k = \ln\!\left(\frac{9}{19}\right) \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{9}{19}\right) = \frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{19}{9}\right).
  • Cálculo numérico (aproximado): \ln\!\left(\dfrac{19}{9}\right)\approx 0,747214, então
k \approx 0,07472\\ \text{min}^{-1}.
  • Observação: o valor é positivo como esperado, e a unidade é \text{min}^{-1} porque o tempo foi dado em minutos.

Passo 6

Pequena verificação e interpretação (útil para prova):
  • Verificar rapidamente T(10) usando k encontrado:
T(10)=25+95\exp(-10\cdot 0,07472)\approx 25+95\cdot\frac{9}{19}=25+45=70,
confere com o dado.
  • Interpretação prática: a diferença inicial de 95^\circ\mathrm{C} decai exponencialmente; a constante k diz quão rápido: tempo característico \tau=1/k\approx 13,38 minutos (tempo em que a diferença cai a cerca de 1/e do valor inicial).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dT}{dt} = -k\bigl(T-T_{s}\bigr)
(b) \displaystyle T(t)=25+95\,e^{-k t}
(c) \displaystyle k=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{19}{9}\right)\approx 0,07472\\ \text{min}^{-1}

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