Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificarmos se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrarmos sua solução geral.
Para isso vamos usar que, numa equação da forma
Para isso vamos usar que, numa equação da forma
ela é exata se
e então construímos uma função potencial
tal que
de onde surge a solução implícita
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
, e integrando
Assim
Resposta
que é a solução geral da equação diferencial exata dada.