Use the Comparison Test to determine whether each series in exercises 1 - 13 converges or diverges.
sumn=2^infty 1(n ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série de termos positivos
sumn=2^infty1(nln n)^2
converge ou diverge, usando o Teste de Comparação. O conteúdo principal é reconhecer uma série tipo p-série e comparar adequadamente.

Passo 2

Note que para n>= 3 temos ln n>= ln 3>1. Dessa forma,
nln n > n,
(nln n)^2 > n^2,
portanto, para n>= 3,
0 <= 1(nln n)^2 < 1n^2

Passo 3

Sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^2
converge, pois o expoente 2>1. Como 1(nln n)^2 é menor que 1n^2 a partir de n=3, pelo Teste de Comparação direta a série
sumn=3^infty1(nln n)^2
converge.

Passo 4

A retirada dos dois primeiros termos ( n=2 e n=3) não afeta a convergência ou divergência de uma série infinita. Logo, a série original
sumn=2^infty1(nln n)^2
também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a p-série sum 1/n^2.

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