Use o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular e a seguir a solução geral da equação diferencial proposta: y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=x^{-2} e^{-2 x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y''+4y'+4y = x^{-2} e^{-2x},
e pede:
Determinar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros.
Em seguida, escrever a solução geral da equação diferencial.
Informações relevantes fornecidas:
O termo não-homogêneo é g(x)=x^{-2} e^{-2x}, o que exige x\neq0 (domínio separado em x>0 e x<0).
A equação linear é de segunda ordem com coeficientes constantes no lado homogêneo.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+4y'+4y=0.
Formamos a equação característica
r^2+4r+4=0.
Calculamos as raízes: isso é um quadrado perfeito,
r^2+4r+4=(r+2)^2,
portanto existe uma raiz dupla r=-2. Para uma raiz dupla a base fundamental de soluções é
y_1(x)=e^{-2x},\qquad y_2(x)=x e^{-2x}.
Então a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 x e^{-2x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Calcular o Wronskiano das soluções fundamentais y_1,y_2. O Wronskiano é