Use o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular e a seguir a solução geral da equação diferencial proposta:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=x^{-2} e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+4y'+4y = x^{-2} e^{-2x},
e pede:
  • Determinar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros.
  • Em seguida, escrever a solução geral da equação diferencial.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo não-homogêneo é g(x)=x^{-2} e^{-2x}, o que exige x\neq0 (domínio separado em x>0 e x<0).
  • A equação linear é de segunda ordem com coeficientes constantes no lado homogêneo.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+4y'+4y=0.
Formamos a equação característica
r^2+4r+4=0.
Calculamos as raízes: isso é um quadrado perfeito,
r^2+4r+4=(r+2)^2,
portanto existe uma raiz dupla r=-2. Para uma raiz dupla a base fundamental de soluções é
y_1(x)=e^{-2x},\qquad y_2(x)=x e^{-2x}.
Então a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 x e^{-2x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Calcular o Wronskiano das soluções fundamentais y_1,y_2. O Wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
Calculamos derivadas:
y_1'(x) = -2 e^{-2x},\qquad y_2'(x) = e^{-2x} - 2x e^{-2x}=e^{-2x}(1-2x).
Agora o determinante:
W(x) = e^{-2x}\cdot e^{-2x}(1-2x) - x e^{-2x}\cdot(-2 e^{-2x}) = e^{-4x}(1-2x)+2x e^{-4x}=e^{-4x}.
Portanto
W(x)=e^{-4x}\neq0\quad\text{para todo }x.

Passo 4

Apresentar o método de variação de parâmetros (resumo didático).
Ideia: buscamos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
com u_1,u_2\) funções a determinar. Para reduzir a liberdade impõe-se a condição auxiliar \[u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Dessa forma, ao substituir y_p na equação, obtemos a segunda equação
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x),
onde g(x) é o lado direito da equação padrão y''+4y'+4y=g(x).
Isso forma um sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' = g(x). \end{cases}
Resolvendo esse sistema (usando Cramer) encontramos as fórmulas padrão:
u_1'(x) = -\dfrac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x) = \dfrac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}.
Depois integra-se u_1',u_2'\] para obter \(u_1,u_2 (constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea).]

Passo 5

Aplicar as fórmulas ao nosso problema. Aqui g(x)=x^{-2} e^{-2x}, y_1=e^{-2x}, y_2=x e^{-2x} e W=e^{-4x}. Calculamos os integrandos:
Primeiro
\dfrac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)}=\dfrac{x e^{-2x}\cdot x^{-2} e^{-2x}}{e^{-4x}} =\dfrac{x\cdot x^{-2}\cdot e^{-4x}}{e^{-4x}}=\dfrac{1}{x}.
Logo
u_1'(x) = -\dfrac{1}{x}.
Integramos (sem constante, pois será absorvida pela homogênea):
u_1(x) = -\int \dfrac{1}{x}\,dx = -\ln|x|.
Segundo
\dfrac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}=\dfrac{e^{-2x}\cdot x^{-2} e^{-2x}}{e^{-4x}} =\dfrac{x^{-2} e^{-4x}}{e^{-4x}}=x^{-2}.
Logo
u_2'(x)=x^{-2}.
Integramos:
u_2(x)=\int x^{-2}\,dx = -x^{-1}.

Passo 6

Construir a solução particular:
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Substituindo u_1,u_2,y_1,y_2:
y_p(x)=\bigl(-\ln|x|\bigr)e^{-2x}+\bigl(-x^{-1}\bigr)\bigl(x e^{-2x}\bigr).
Simplificando:
y_p(x) = -e^{-2x}\ln|x| - e^{-2x} = -e^{-2x}\bigl(\ln|x|+1\bigr).

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 x e^{-2x} + y_p(x),
onde y_p(x) foi encontrada no passo anterior e C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y_p(x) = -e^{-2x}\bigl(\ln|x|+1\bigr)\n
y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} - e^{-2x}\bigl(\ln|x|+1\bigr)

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