Resolva as equações diferenciais dadas pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea por coeficientes indeterminados:
Informações dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
.
O objetivo é encontrar a solução geral, isto é, a solução complementar (da homogênea) somada a uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica, que se obtém substituindo
e suas derivadas:
Agora resolvemos essa equação quadrática.
Passo 3
Resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são complexas conjugadas
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes
, a solução complementar (solução da homogênea) é
onde
são constantes arbitrárias. Aqui
e
, então
Explicação curta do porquê: as partes oscilatórias
e
aparecem por causa da parte imaginária das raízes, e o fator exponencial
vem da parte real.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa
Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando o termo for combinação de senos e cossenos de frequência
(isto é
e
), tentamos uma ansatz da forma
com
constantes a determinar. Antes de aceitar essa forma, devemos checar se existe ressonância: se alguma parte de
já fosse solução da homogênea, precisaríamos multiplicar por
. Aqui a homogênea tem termos
e
, que não coincidem com
e
(falta o fator
). Portanto não há ressonância e a escolha acima é válida.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
. Começando por
então
Expliquei: derivada de
é
(regra cadeia), e derivada de
é
; aplicar de novo para obter
.
Passo 7
Substituímos
no lado esquerdo da equação
e agrupamos em
e
:
Agora distribuímos e somamos termos semelhantes. Para o coeficiente de
:
Para o coeficiente de
:
Logo
Passo 8
Igualamos a expressão acima ao lado direito
Agora resolvemos. Da segunda equação (B=-4A]. Substituindo na primeira:
Então
]
Então
Passo 9
Portanto a solução particular é
A solução geral da equação (complementar + particular) é
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.
Passo 10
Dicas rápidas para a prova:
- Sempre comece pela homogênea (raiz característica), porque ela diz se há ressonância (multiplicar por
). - Para forçamentos trigonométricos use ansatz
(ou multiplicado por se houver ressonância). - Ao substituir, agrupe termos em
e e resolva o sistema linear para os coeficientes. - Se as contas parecerem longas, faça passo a passo como aqui: derivar, substituir, coletar, igualar coeficientes, resolver sistema.