Resolva as equações diferenciais dadas pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea por coeficientes indeterminados:
y''-2y'+5y=\cos 2x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é \cos 2x.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x), isto é, a solução complementar (da homogênea) somada a uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
y''-2y'+5y=0.
Para isso usamos a equação característica, que se obtém substituindo y=e^{rx} e suas derivadas:
r^2-2r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática.

Passo 3

Resolver a equação quadrática:
r^2-2r+5=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm4i}{2}=1\pm2i.
Portanto as raízes são complexas conjugadas r=1\pm2i.

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes \alpha \pm \beta i, a solução complementar (solução da homogênea) é
y_c=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Aqui \alpha=1 e \beta=2, então
y_c=e^{x}\big(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\big).
Explicação curta do porquê: as partes oscilatórias \cos e \sin aparecem por causa da parte imaginária das raízes, e o fator exponencial e^{\alpha x} vem da parte real.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_p para a equação completa
y''-2y'+5y=\cos 2x.
Pelo método dos coeficientes indeterminados, quando o termo for combinação de senos e cossenos de frequência 2 (isto é \cos 2x e \sin 2x), tentamos uma ansatz da forma
y_p = A\cos 2x + B\sin 2x,
com A,B constantes a determinar. Antes de aceitar essa forma, devemos checar se existe ressonância: se alguma parte de y_p já fosse solução da homogênea, precisaríamos multiplicar por x. Aqui a homogênea tem termos e^{x}\cos 2x e e^{x}\sin 2x, que não coincidem com \cos 2x e \sin 2x (falta o fator e^{x}). Portanto não há ressonância e a escolha acima é válida.

Passo 6

Calculamos as derivadas de y_p. Começando por
y_p = A\cos 2x + B\sin 2x,
então
y_p' = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x,
y_p'' = -4A\cos 2x -4B\sin 2x.
Expliquei: derivada de \cos 2x é -2\sin 2x (regra cadeia), e derivada de \sin 2x é 2\cos 2x; aplicar de novo para obter y_p''.

Passo 7

Substituímos y_p,y_p',y_p'' no lado esquerdo da equação y''-2y'+5y e agrupamos em \cos 2x e \sin 2x:
y_p''-2y_p'+5y_p = (-4A\cos 2x -4B\sin 2x) -2(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x) +5(A\cos 2x + B\sin 2x).
Agora distribuímos e somamos termos semelhantes. Para o coeficiente de \cos 2x:
-4A \;-\; 2\cdot(2B) \;+\;5A = -4A -4B +5A = A - 4B.
Para o coeficiente de \sin 2x:
-4B \;-\;2\cdot(-2A) \;+\;5B = -4B +4A +5B = 4A + B.
Logo
y_p''-2y_p'+5y_p = (A-4B)\cos 2x + (4A+B)\sin 2x.

Passo 8

Igualamos a expressão acima ao lado direito \cos 2x\), que tem coeficientes \(1\) para \(\cos 2x\) e \(0\) para \(\sin 2x\). Assim obtemos o sistema linear para \(A,B\): \[\begin{cases} A-4B=1,\\[4pt] 4A+B=0. \end{cases}
Agora resolvemos. Da segunda equação (B=-4A]. Substituindo na primeira:
A-4(-4A)=1 \quad\Rightarrow\quad A+16A=1 \quad\Rightarrow\quad 17A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{1}{17}.
Então
B=-4A=-\dfrac{4}{17}.]

Passo 9

Portanto a solução particular é
y_p = \dfrac{1}{17}\cos 2x - \dfrac{4}{17}\sin 2x.
A solução geral da equação (complementar + particular) é
y(x)=y_c+y_p = e^{x}\big(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\big) + \dfrac{1}{17}\cos 2x - \dfrac{4}{17}\sin 2x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.

Passo 10

Dicas rápidas para a prova:
  • Sempre comece pela homogênea (raiz característica), porque ela diz se há ressonância (multiplicar por x).
  • Para forçamentos trigonométricos use ansatz A\cos bx + B\sin bx (ou multiplicado por x se houver ressonância).
  • Ao substituir, agrupe termos em \cos e \sin e resolva o sistema linear para os coeficientes.
  • Se as contas parecerem longas, faça passo a passo como aqui: derivar, substituir, coletar, igualar coeficientes, resolver sistema.

Resposta

y(x)=e^{x}\big(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\big) + \dfrac{1}{17}\cos 2x - \dfrac{4}{17}\sin 2x

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