Use o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular e a seguir a solução geral da equação diferencial proposta: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=(x+1) e^{2 x}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}.
O que pede:
Usar o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular y_p(x).
Em seguida, escrever a solução geral y(x) da equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo não-homogêneo (lado direito) é (x+1)e^{2x}.
Não há condições iniciais: vamos apresentar a família de soluções gerais com constantes arbitrárias.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (passo obrigatório antes de variação de parâmetros).
A equação homogênea é
y'' - 4y' + 4y = 0.
Para resolvê-la, procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico
r^2 - 4r + 4 = 0.
Calcule as raízes:
r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2,
portanto há uma raiz real dupla r=2 (multiplicidade 2).
Para uma raiz dupla r=2, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x) = e^{2x},\qquad y_2(x) = x e^{2x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Apresentar a ideia da variação de parâmetros (sem pular passos): o objetivo é procurar uma solução particular y_p\) da forma
\[y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde y_1 e y_2 são as soluções fundamentais da homogênea e u_1,u_2 são funções a determinar.
Por que impomos condições adicionais? Se deixássemos u_1,u_2 totalmente livres, teríamos muitas incógnitas. Então impõe-se a condição auxiliar clássica
u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,
para simplificar a expressão de y_p''. Com essa condição, ao calcular y_p' e y_p'' a equação resultante reduz-se a um sistema simples para u_1' e u_2'.
A equação original está na forma padrão com coeficiente líder 1, então a fórmula que vamos usar (resultado do procedimento) é o sistema
onde r(x)\] é o lado direito não-homogêneo, aqui \(r(x)=(x+1)e^{2x}.
Vou agora aplicar essas fórmulas explicitamente com os y_1,y_2 que encontramos.]
Passo 4
Calcular as derivadas de y_1 e y_2 (passo mecânico e detalhado):
Temos
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_1'(x)=2 e^{2x}.
E
y_2(x)=x e^{2x}.
Para y_2' usamos a regra do produto: (x e^{2x})' = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2 e^{2x}. Assim
y_2'(x)=(1+2x)e^{2x}.
Passo 5
Calcular o Wronskiano W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} (isso garante que y_1,y_2 são linearmente independentes e aparece nas fórmulas de variação de parâmetros).
Compute explicitamente:
W(x)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x).
Substituindo:
W(x)=e^{2x}\cdot(1+2x)e^{2x} - 2e^{2x}\cdot x e^{2x}.
Podemos simplificar dividindo por (e^{2x}] (que é sempre positivo e não anula nada): \begin{cases} u_1'(x)+u_2'(x)\,x=0,\\[4pt] 2u_1'(x)+u_2'(x)\,(1+2x)=x+1. \end{cases}
Outra forma rápida (fórmula padrão) para u_1' e u_2' é
Integrar u_1' e u_2' para obter u_1,u_2. Lembre-se: constantes de integração podem ser tomadas zero na construção de uma única solução particular, pois qualquer constante seria absorvido pela solução homogênea y_h.