Use o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular e a seguir a solução geral da equação diferencial proposta:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=(x+1) e^{2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = (x+1)e^{2x}.
O que pede:
  • Usar o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular y_p(x).
  • Em seguida, escrever a solução geral y(x) da equação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é (x+1)e^{2x}.
  • Não há condições iniciais: vamos apresentar a família de soluções gerais com constantes arbitrárias.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (passo obrigatório antes de variação de parâmetros).
A equação homogênea é
y'' - 4y' + 4y = 0.
Para resolvê-la, procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico
r^2 - 4r + 4 = 0.
Calcule as raízes:
r^2 - 4r + 4 = (r-2)^2,
portanto há uma raiz real dupla r=2 (multiplicidade 2).
Para uma raiz dupla r=2, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x) = e^{2x},\qquad y_2(x) = x e^{2x}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Apresentar a ideia da variação de parâmetros (sem pular passos): o objetivo é procurar uma solução particular y_p\) da forma \[y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde y_1 e y_2 são as soluções fundamentais da homogênea e u_1,u_2 são funções a determinar.
Por que impomos condições adicionais? Se deixássemos u_1,u_2 totalmente livres, teríamos muitas incógnitas. Então impõe-se a condição auxiliar clássica
u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,
para simplificar a expressão de y_p''. Com essa condição, ao calcular y_p' e y_p'' a equação resultante reduz-se a um sistema simples para u_1' e u_2'.
A equação original está na forma padrão com coeficiente líder 1, então a fórmula que vamos usar (resultado do procedimento) é o sistema
\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=r(x), \end{cases}
onde r(x)\] é o lado direito não-homogêneo, aqui \(r(x)=(x+1)e^{2x}.
Vou agora aplicar essas fórmulas explicitamente com os y_1,y_2 que encontramos.]

Passo 4

Calcular as derivadas de y_1 e y_2 (passo mecânico e detalhado):
Temos
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_1'(x)=2 e^{2x}.
E
y_2(x)=x e^{2x}.
Para y_2' usamos a regra do produto: (x e^{2x})' = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2 e^{2x}. Assim
y_2'(x)=(1+2x)e^{2x}.

Passo 5

Calcular o Wronskiano W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} (isso garante que y_1,y_2 são linearmente independentes e aparece nas fórmulas de variação de parâmetros).
Compute explicitamente:
W(x)=y_1(x)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(x).
Substituindo:
W(x)=e^{2x}\cdot(1+2x)e^{2x} - 2e^{2x}\cdot x e^{2x}.
Fatorando e^{2x}e^{2x}=e^{4x}:
W(x)=e^{4x}\big((1+2x)-2x\big)=e^{4x}\cdot 1 = e^{4x}.
Observação: W(x)=e^{4x}\neq 0 para todo x, então y_1,y_2 são linearmente independentes e o método é aplicável.

Passo 6

Escrever o sistema para [u_1’) e u_2' e usar a fórmula direta (resultado padrão derivado do passo anterior):
O sistema é
\begin{cases} u_1'(x)\,e^{2x}+u_2'(x)\,x e^{2x}=0,\\[4pt] u_1'(x)\,2e^{2x}+u_2'(x)\,(1+2x)e^{2x}=(x+1)e^{2x}. \end{cases}
Podemos simplificar dividindo por (e^{2x}] (que é sempre positivo e não anula nada):
\begin{cases} u_1'(x)+u_2'(x)\,x=0,\\[4pt] 2u_1'(x)+u_2'(x)\,(1+2x)=x+1. \end{cases}
Outra forma rápida (fórmula padrão) para u_1' e u_2' é
u_1' = -\frac{r(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2' = \frac{r(x)\,y_1(x)}{W(x)}.
Vou usar essa fórmula: aqui r(x)=(x+1)e^{2x}, y_1=e^{2x}, y_2=x e^{2x} e W=e^{4x}.
Calcule u_1':
u_1'(x) = -\frac{(x+1)e^{2x}\cdot x e^{2x}}{e^{4x}} = -x(x+1).
Explicação: os fatores exponenciais cancelam porque e^{2x}\cdot e^{2x}/e^{4x}=1.
Calcule u_2':
u_2'(x) = \frac{(x+1)e^{2x}\cdot e^{2x}}{e^{4x}} = x+1.]

Passo 7

Integrar u_1' e u_2' para obter u_1,u_2. Lembre-se: constantes de integração podem ser tomadas zero na construção de uma única solução particular, pois qualquer constante seria absorvido pela solução homogênea y_h.
Integrar u_1':
u_1'(x) = -x^2 - x.
Integramos termo a termo:
u_1(x) = -\int (x^2 + x)\,dx = -\left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}.
(omitimos a constante de integração deliberadamente para obter uma solução particular.)
Integrar u_2':
u_2'(x)=x+1 \quad\Rightarrow\quad u_2(x)=\int (x+1)\,dx = \frac{x^2}{2}+x.

Passo 8

Construir a solução particular y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Substituindo:
y_p(x)=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)e^{2x} + \left(\frac{x^2}{2}+x\right)\cdot x e^{2x}.
Simplificar termo a termo: o segundo produto é
\left(\frac{x^2}{2}+x\right)x e^{2x} = \left(\frac{x^3}{2}+x^2\right)e^{2x}.
Somando com o primeiro:
y_p(x)=\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{2}+x^2\right)e^{2x}.
Agrupando potências de x:
Coeficiente de x^3:
-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = -\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{1}{6}.
Coeficiente de x^2:
-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}.
Portanto
y_p(x)=\left(\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2\right)e^{2x}.
Fatorando:
y_p(x)=\frac{x^2(x+3)}{6}\,e^{2x}.

Passo 9

Formar a solução geral da equação não-homogênea somando a solução homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{2x}+C_2 x e^{2x}+\left(\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2\right)e^{2x}.
Podemos também escrever de forma fatorada:
y(x)=e^{2x}\left(C_1 + C_2 x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}\right).
Isso é tudo: obtivemos explicitamente y_p pelo método pedido e a família completa de soluções.

Resposta

y_p(x)=\left(\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}x^2\right)e^{2x}\n
y(x)=e^{2x}\!\left(C_1 + C_2 x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^2}{2}\right)

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