Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um problema de equações diferenciais de primeira ordem do tipo
onde
e
. Vamos usar o método de equações exatas: verificar a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial
cuja diferencial total é
.
Passo 2
Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais
Calculamos
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender apenas de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Derivando
em relação a
:
Isso deve ser igual a
. Logo
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
onde
é constante arbitrária.