Resolva as equações diferenciais:
(2 x y+3) d x+\left(x^{2}+1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(2\,x\,y + 3)\,dx + (x^2 + 1)\,dy = 0.
Este é um problema de equações diferenciais de primeira ordem do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde M(x,y)=2xy+3 e N(x,y)=x^2+1. Vamos usar o método de equações exatas: verificar a condição de exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial total é d\Phi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy+3) = 2x,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2+1) = 2x.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = \int (2xy+3)\,dx = x^2\,y + 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender apenas de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = N(x,y).
Derivando \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x^2 + h'(y).
Isso deve ser igual a N(x,y)=x^2+1. Logo
x^2 + h'(y) = x^2 + 1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 1 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y + C_1.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a função potencial
\Phi(x,y) = x^2\,y + 3x + y.
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
\Phi(x,y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2\,y + y + 3x = C.

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