(6,0) Resolva as Equações Diferenciais:
\left(x y+y^{2}+x^{2}\right)-\left(x^{2}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(x\,y + y^{2} + x^{2}) - x^{2}\,\frac{dy}{dx} = 0
com condição inicial y(6)=0. Reconhecemos que é uma equação homogênea, pois o termo que multiplica dy/dx e o termo livre têm grau 2 em x e y.

Passo 2

Isolamos \frac{dy}{dx}. Reescrevendo a equação,
x\,y + y^{2} + x^{2} = x^{2}\,\frac{dy}{dx},
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\frac{dy}{dx} = \frac{x\,y + y^{2} + x^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Note que
\frac{x\,y + y^{2} + x^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x} + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} + 1,
ou seja, a função do lado direito depende apenas da razão y/x, caracterizando uma equação homogênea.

Passo 4

Fazemos a substituição padrão para homogêneas:
y = v\,x,
de modo que
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \bigl(\frac{y}{x}\bigr)^{2} + 1, obtemos
v + x\,\frac{dv}{dx} = v + v^{2} + 1 \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dv}{dx} = v^{2} + 1.

Passo 6

Separamos variáveis:
\frac{dv}{v^{2}+1} = \frac{dx}{x}
e integramos:
\int \frac{dv}{v^{2}+1} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 7

Voltando a y (pois v=y/x), temos a solução implícita
\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(6)=0. Em x=6, y=0 v=0 e
\arctan(0) = 0 = \ln 6 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\ln 6.
Assim
\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert - \ln 6 = \ln\!\Bigl(\frac{x}{6}\Bigr).

Passo 9

Isolamos y:
\frac{y}{x} = \tan\!\Bigl(\ln\!\tfrac{x}{6}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = x\,\tan\!\Bigl(\ln\!\tfrac{x}{6}\Bigr).

Resposta

y(x) = x\,\tan\!\Bigl(\ln\!\tfrac{x}{6}\Bigr),
que satisfaz y(6)=0.

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