Resolva as Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
. Reconhecemos que é uma equação homogênea, pois o termo que multiplica
e o termo livre têm grau 2 em
e
.
Passo 2
Isolamos
. Reescrevendo a equação,
logo
Passo 3
Note que
ou seja, a função do lado direito depende apenas da razão
, caracterizando uma equação homogênea.
Passo 4
Fazemos a substituição padrão para homogêneas:
de modo que
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Passo 6
Separamos variáveis:
e integramos:
Passo 7
Voltando a
(pois
), temos a solução implícita
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Em
,
dá
e
Assim
Passo 9
Isolamos
:
Resposta
que satisfaz
.