Resolva as equações diferenciais homogêneas:
(x^2-y^2)+x y d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea (x^2-y^2)+x y d yd x=0. Essa equação está no contexto de equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde podemos simplificar usando uma substituição que relaciona y e x. Para resolver, vamos precisar usar substituição de variáveis e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a substituição. Começamos isolando o termo com a derivada:
x y dydx = y^2 - x^2

Passo 3

Agora, vamos reconhecer que essa é uma equação homogênea, onde podemos usar a substituição v = yx. Isso significa que y = v x. Com isso, precisamos expressar dydx em termos de v e x.

Passo 4

Calculando a derivada de y em relação a x:
dydx = v + x dvdx

Passo 5

Substituímos y e dydx na equação original:
x (v x) ( v + x dvdx ) = (v x)^2 - x^2
Simplificando:
x^2 v (v + x dvdx) = v^2 x^2 - x^2

Passo 6

Dividimos ambos os lados por x^2 para simplificar:
v (v + x dvdx) = v^2 - 1
Expandindo o lado esquerdo:
v^2 + x v dvdx = v^2 - 1
Subtraindo v^2 de ambos os lados:
x v dvdx = -1

Passo 7

Agora, separamos as variáveis v e x:
v , dv = -dxx

Passo 8

Integramos ambos os lados:
integral v , dv = -integral 1x , dx
Calculando as integrais:
v^22 = -ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
(yx)^22 = -ln|x| + C
Simplificando:
y^22x^2 = -ln|x| + C
Multiplicando ambos os lados por 2x^2:
y^2 = -2x^2 ln|x| + Cx^2

Passo 10

Finalmente, escrevemos a solução geral da equação diferencial:
y = raiz-2x^2 ln|x| + Cx^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raiz-2x^2 ln|x| + Cx^2
onde C é uma constante arbitrária.

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