Resolva as equações diferenciais homogêneas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Essa equação está no contexto de equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde podemos simplificar usando uma substituição que relaciona
e
. Para resolver, vamos precisar usar substituição de variáveis e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a substituição. Começamos isolando o termo com a derivada:
Passo 3
Agora, vamos reconhecer que essa é uma equação homogênea, onde podemos usar a substituição
. Isso significa que
. Com isso, precisamos expressar
em termos de
e
.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por
para simplificar:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Finalmente, escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.