Resolver os seguintes problemas de valores iniciais:
l(3 x^2 y+8 x y^2)+(x^3+8 x^2 y+12 y^2) y^prime=0, y(2)=1

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y)+N(x,y),y'=0
com
M(x,y)=3x^2y+8xy^2, N(x,y)=x^3+8x^2y+12y^2,
e condição inicial y(2)=1.
O conteúdo é reconhecer uma equação exata, verificar a exatidão e, em seguida, encontrar a função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M, partial Fpartial y=N

Passo 2

Verificamos a exatidão computando
partial Mpartial y =partialpartial y(3x^2y+8xy^2) =3x^2+16xy,
partial Npartial x =partialpartial x(x^3+8x^2y+12y^2) =3x^2+16xy
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y)=integral(3x^2y+8xy^2),dx = x^3y+4x^2y^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impomos
partial Fpartial y =x^3+8x^2y+h'(y)overset!=N(x,y)=x^3+8x^2y+12y^2,
logo
h'(y)=12y^2 Longrightarrow h(y)=4y^3
Portanto
F(x,y)=x^3y+4x^2y^2+4y^3
A solução geral implícita é
x^3y+4x^2y^2+4y^3=C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(2)=1 para achar C:
(2)^3cdot1+4(2)^2cdot1^2+4cdot1^3 =8+16+4=28,
logo C=28. A solução particular fica
x^3y+4x^2y^2+4y^3=28

Resposta

x^3y+4x^2y^2+4y^3=28

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