Resolver os seguintes problemas de valores iniciais:
l(y exp (x y)+4 y^3)+(x exp (x y)+12 x y^2-2 y) y^prime=0, y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
l(y,e^x y+4y^3r)+l(x,e^x y+12x y^2-2yr),y'=0, y(0)=2
Trata-se de uma equação diferencial da forma
M(x,y)+N(x,y),y'=0,
e vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=M, partialPhipartial y=N,
e então usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y,e^x y+4y^3, N(x,y)=x,e^x y+12x y^2-2y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(y,e^x yr)+partialpartial y(4y^3) =e^x y+x y,e^x y+12y^2,
partial Npartial x =partialpartial xl(x,e^x yr) +partialpartial x(12x y^2) -partialpartial x(2y) =e^x y+x y,e^x y+12y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) tal que Phix=M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y)=integrall(y,e^x y+4y^3r),dx =integral y,e^x y,dx+integral4y^3,dx =e^x y+4x y^3+g(y),
onde g(y) é uma função de y ainda a determinar.

Passo 4

Agora impomos Phiy=N. Calculamos
Phiy=partialpartial yl(e^x y+4x y^3+g(y)r) =x,e^x y+12x y^2+g'(y)
e igualamos a N:
x,e^x y+12x y^2+g'(y) =x,e^x y+12x y^2-2y ;Longrightarrow; g'(y)=-2y
Integrando em y,
g(y)=-y^2+C1
Desprezamos C1 por fazer parte de uma constante geral na equação implícita.
Portanto a equação de curvas de nível é
Phi(x,y)=e^x y+4x y^3-y^2=C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2. Em x=0, y=2,
Phi(0,2)=e^0cdot2+4cdot0cdot2^3-2^2=1-4=-3,
logo C=-3.

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
e^x y+4x y^3-y^2=-3,
com y(0)=2.

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