Resolver os seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Trata-se de uma equação diferencial da forma
e vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e então usar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
ainda a determinar.
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
e igualamos a
:
Integrando em
,
Desprezamos
por fazer parte de uma constante geral na equação implícita.
Portanto a equação de curvas de nível é
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Em
,
,
logo
.
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é
com
.