Resolva as equações diferenciais homogêneas:
2(x+2 y)+(y-x) d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação homogênea:
2(x + 2y) + (y - x) dydx = 0
Estamos lidando com equações diferenciais homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, transformando-a em algo que a gente consiga integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos escrever dydx como uma função de yx. Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
v = yx
Isso implica que:
y = v cdot x

Passo 3

Agora, vamos derivar y em relação a x usando a regra do produto:
dydx = v + x dvdx
Substituímos y e dydx na equação original:
2(x + 2(vx)) + (vx - x)(v + x dvdx) = 0

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Primeiro, simplifique dentro dos parênteses:
x + 2(vx) = x(1 + 2v)
vx - x = x(v - 1)
Substituindo de volta:
2x(1 + 2v) + x(v - 1)(v + x dvdx) = 0

Passo 5

Agora, podemos dividir toda a equação por x (desde que x neq 0):
2(1 + 2v) + (v - 1)(v + x dvdx) = 0
Expandindo o segundo termo:
2(1 + 2v) + (v - 1)v + (v - 1)x dvdx = 0
Simplificando:
2 + 4v + v^2 - v + (v - 1)x dvdx = 0
Combine os termos semelhantes:
2 + 3v + v^2 + (v - 1)x dvdx = 0

Passo 6

Vamos reorganizar para isolar dvdx:
(v - 1)x dvdx = - (2 + 3v + v^2)
Dividindo ambos os lados por (v - 1)x:
dvdx = -2 + 3v + v^2(v - 1)x

Passo 7

Agora, temos uma equação separável. Vamos reescrever para separar as variáveis v e x:
(v - 1)2 + 3v + v^2 dv = -1x dx

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral v - 1v^2 + 3v + 2 dv
Perceba que o denominador pode ser fatorado:
v^2 + 3v + 2 = (v + 1)(v + 2)
Portanto, podemos decompor em frações parciais:
v - 1(v + 1)(v + 2) = Av + 1 + Bv + 2
Resolvendo para A e B, encontramos A = 1 e B = -2. Então:
integral ( 1v + 1 - 2v + 2 ) dv = ln|v + 1| - 2ln|v + 2| + C
Agora, a integral do lado direito:
integral -1x dx = -ln|x| + C

Passo 9

Juntando as integrais:
ln|v + 1| - 2ln|v + 2| = -ln|x| + C
Vamos reorganizar para resolver para v:
ln(v + 1(v + 2)^2) = -ln|x| + C
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v + 1(v + 2)^2 = Kx
Onde K = e^C é uma constante.

Passo 10

Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
yx + 1(yx + 2)^2 = Kx
Multiplicando ambos os lados por x:
y + x(y + 2x)^2 = K

Passo 11

Finalmente, podemos expressar a solução geral da equação diferencial:
y + x(y + 2x)^2 = C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y + x(y + 2x)^2 = C
Onde C é uma constante qualquer.

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