Resolva as equações diferenciais homogêneas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação homogênea:
Estamos lidando com equações diferenciais homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, transformando-a em algo que a gente consiga integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos escrever
como uma função de
. Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
Isso implica que:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Primeiro, simplifique dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, podemos dividir toda a equação por
(desde que
):
Expandindo o segundo termo:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Passo 6
Vamos reorganizar para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável. Vamos reescrever para separar as variáveis
e
:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Perceba que o denominador pode ser fatorado:
Portanto, podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Agora, a integral do lado direito:
Passo 9
Juntando as integrais:
Vamos reorganizar para resolver para
:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante.
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 11
Finalmente, podemos expressar a solução geral da equação diferencial:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante qualquer.