Resolva as equações diferenciais homogêneas:
(2 x+y)-x d yd x=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x + y) - x,dydx = 0
e pede a sua solução geral. Este é um caso de equação diferencial de primeira ordem e pode ser vista como uma equação linear na forma
dydx - 1x,y = 2
Para resolver precisamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão
dydx + P(x),y = Q(x),
identificando
P(x) = -1x, Q(x) = 2
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -1x,dxr) = expl(-ln|x|r) = 1|x|
Para simplicidade assumimos xneq0 e usamos mu(x)=1/x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x, obtendo
1x,dydx - 1x^2,y = 2x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto yx, isto é,
ddxl(yxr) = 2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integral 2x,dx = 2lnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por x, obtemos a solução geral:
y = xl(2lnlvert xrvert + Cr) = 2xlnlvert xrvert + Cx

Resposta

y(x) = 2xlnlvert xrvert + Cx,
onde C é constante arbitrária.

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