Resolva as equações diferenciais homogêneas:
x y^prime=y ln (yx).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,dydx=y,ln!l(tfracyxr)
que é homogênea, pois o termo à direita depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição
y = v,x,
onde v é função de x.

Passo 2

De y=vx segue
dydx=v + xdvdx
Substituindo em
xdydx=yln!l(tfracyxr)
temos
xl(v + x,tfracdvdxr) =(v,x)ln(v),
ou seja
v + xdvdx=vln(v)
Reescrevendo,
xdvdx=vl(ln(v)-1r)

Passo 3

Separamos as variáveis v e x:
dvvl(ln(v)-1r) =dxx
Para integrar o lado esquerdo, note que se fizermos
t=ln(v)-1, dt=1v,dv,
então
dvv(ln(v)-1) =dtt

Passo 4

Integrando ambos os lados:
integraldtt =integraldxx Longrightarrow lnl|tr| =lnl|xr|+C
Voltando a t=ln(v)-1, obtemos
lnl|ln(v)-1r| =lnl|xr|+C Longrightarrow ln(v)-1 =K,x,
onde K é constante real (absorvendo sinais).

Passo 5

Da relação ln(v)-1=Kx segue
ln(v)=1+Kx Longrightarrow v=e^1+Kx
Lembremos que v=y/x, então
yx=e^1+Kx Longrightarrow y = x,e^1+Kx

Resposta

boxedy(x)=x,e^1+Kx,
onde K é constante arbitrária.

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