Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão do lado direito é um quociente entre polinômios em x e y.
  • A equação não é definida em x=0 (pois há divisão por x^{2}), logo a solução será válida para intervalos onde x\neq0.
  • Objetivo: encontrar a família de soluções (constante de integração incluída).

Passo 2

Vamos observar uma propriedade útil da razão do lado direito. Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos
\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Ou seja, o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso sugere a substituição padrão para esse tipo de situação: definir uma nova função \,v(x)=\dfrac{y(x)}{x}.

Passo 3

Faça a substituição v=\dfrac{y}{x}. Então y=vx. Agora precisamos da derivada \dfrac{dy}{dx} em função de v e x. Diferenciando y=vx em relação a x (usando a regra do produto) obtemos:
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Também, substituindo y/x=v no lado direito da equação original temos
\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}=1+v+v^{2}.

Passo 4

Agora substituímos ambas as expressões na equação diferencial:
v + x\frac{dv}{dx}=1+v+v^{2}.
Cancelando v dos dois lados (eles aparecem em ambos) obtemos uma equação para v:
x\frac{dv}{dx}=1+v^{2}.

Passo 5

A equação para v é separável. Reescrevendo:
\frac{dv}{1+v^{2}}=\frac{dx}{x}.
Aqui a ideia é isolar as variáveis: todos os termos em v de um lado e todos os termos em x do outro, para então integrar ambos os lados.

Passo 6

Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a função arco-tangente; a integral do lado direito é o logaritmo natural (com valor absoluto). Assim:
\int\frac{dv}{1+v^{2}}=\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v)=\ln|x|+C,
onde C é a constante de integração (real).

Passo 7

Agora voltamos à variável original. Primeiro isolamos v:
v=\tan\big(\ln|x|+C\big).
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução explícita para y:
\frac{y}{x}=\tan\big(\ln|x|+C\big) \quad\Longrightarrow\quad y=x\,\tan\big(\ln|x|+C\big).

Passo 8

Comentários finais e atenção na prova:
  • A solução geral pode ser escrita também na forma implícita
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\ln|x|=C.
  • Não existem soluções constantes y=kx com k real que satisfaçam a equação, pois isso implicaria 1+k^{2}=0, impossível em \mathbb{R}.
  • A solução é válida em intervalos onde x\neq0 e onde a função tangente não tem singularidade (mas a expressão geral com a constante já descreve todas as ramificações).
  • Na prova: sempre justificar a substituição v=y/x mostrando que o lado direito depende só de y/x, escrever explicitamente \dfrac{dy}{dx}=v+x\,dv/dx, separar variáveis e integrar.

Resposta

y=x\,\tan\big(\ln|x|+C\big)

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