Resolva as equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão do lado direito é um quociente entre polinômios em
e . - A equação não é definida em
(pois há divisão por ), logo a solução será válida para intervalos onde . - Objetivo: encontrar a família de soluções (constante de integração incluída).
Passo 2
Vamos observar uma propriedade útil da razão do lado direito. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Ou seja, o lado direito depende apenas da razão
. Isso sugere a substituição padrão para esse tipo de situação: definir uma nova função
.
Passo 3
Faça a substituição
. Então
. Agora precisamos da derivada
em função de
e
. Diferenciando
em relação a
(usando a regra do produto) obtemos:
Também, substituindo
no lado direito da equação original temos
Passo 4
Agora substituímos ambas as expressões na equação diferencial:
Cancelando
dos dois lados (eles aparecem em ambos) obtemos uma equação para
:
Passo 5
A equação para
é separável. Reescrevendo:
Aqui a ideia é isolar as variáveis: todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro, para então integrar ambos os lados.
Passo 6
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a função arco-tangente; a integral do lado direito é o logaritmo natural (com valor absoluto). Assim:
onde
é a constante de integração (real).
Passo 7
Agora voltamos à variável original. Primeiro isolamos
:
Lembrando que
, obtemos a solução explícita para
:
Passo 8
Comentários finais e atenção na prova:
- A solução geral pode ser escrita também na forma implícita
- Não existem soluções constantes
com real que satisfaçam a equação, pois isso implicaria , impossível em . - A solução é válida em intervalos onde
e onde a função tangente não tem singularidade (mas a expressão geral com a constante já descreve todas as ramificações). - Na prova: sempre justificar a substituição
mostrando que o lado direito depende só de , escrever explicitamente , separar variáveis e integrar.