Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{4 y-3 x}{2 x-y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{4y-3x}{2x-y}
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A variável dependente é y e a independente é x.
  • A razão entre polinômios em x e y está escrita no lado direito.
  • Há pontos em que o denominador 2x-y se anula; nesses pontos a expressão para \dfrac{dy}{dx} não é válida (serão tratados como situações especiais se necessário).

Passo 2

Vamos fazer uma substituição clássica para equações em que a razão do lado direito depende de y e x apenas através da relação y/x. Introduzimos a variável auxiliar v por
y = v x.
Explico por que isso é útil: se a expressão do lado direito for função de y/x apenas, a substituição transforma a ED em uma equação em v e x que costuma ser separável. Agora calcule a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx},
pois ao derivar y=v(x)\,x usamos a regra do produto.

Passo 3

Substitui-se y=vx na expressão do lado direito:
\frac{4y-3x}{2x-y}=\frac{4(vx)-3x}{2x-(vx)}=\frac{x(4v-3)}{x(2-v)}=\frac{4v-3}{2-v}.
Agora igualamos com a expressão da derivada:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{4v-3}{2-v}.
Isolando x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{4v-3}{2-v}-v.
Fazendo a subtração no lado direito com denominador comum 2-v:
x\frac{dv}{dx}=\frac{4v-3 - v(2-v)}{2-v}=\frac{4v-3-2v+v^2}{2-v}=\frac{v^2+2v-3}{2-v}.
Note que o numerador pode ser fatorado:
v^2+2v-3=(v+3)(v-1).
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{(v+3)(v-1)}{2-v}.

Passo 4

Vamos separar as variáveis para integrar. Passando todos os termos em v\) para o lado esquerdo e \(x\) para o direito: \[\frac{2-v}{(v+3)(v-1)}\,dv=\frac{dx}{x}.
Aqui o objetivo é integrar a função racional do lado esquerdo. Para isso usamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2-v}{(v+3)(v-1)}=\frac{A}{v-1}+\frac{B}{v+3}.
Multiplicando pelos denominadores:
2-v = A(v+3)+B(v-1)=(A+B)v+(3A-B).
Igualando coeficientes do polinômio:
\begin{cases} A+B = -1,\\[4pt] 3A - B = 2. \end{cases}
Resolvendo: somando as equações obtemos 4A=1\] então \(A=\tfrac{1}{4}. Logo B=-1-A=-\tfrac{5}{4}. Assim
\frac{2-v}{(v+3)(v-1)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{v-1}-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{v+3}.]

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{v-1}-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{v+3}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
\frac{1}{4}\ln|v-1|-\frac{5}{4}\ln|v+3|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
\ln|v-1|-5\ln|v+3|=4\ln|x|+C_1,
com C_1=4C. Usando propriedades dos logaritmos:
\ln\!\left(\frac{|v-1|}{|v+3|^5}\right)=\ln|x|^4 + C_1.
Exponenciando:
\frac{|v-1|}{|v+3|^5}=C x^4,
onde C=e^{C_1} é uma constante arbitrária não nula (o sinal absoluto pode ser absorvido em C). Para simplificar a escrita podemos escrever
\frac{v-1}{(v+3)^5}=C x^4.

Passo 6

Voltando à variável original y com v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{\dfrac{y}{x}-1}{\left(\dfrac{y}{x}+3\right)^5}=C x^4.
Simplificando o lado esquerdo:
\frac{(y-x)/x}{(y+3x)^5/x^5}=\frac{(y-x)x^4}{(y+3x)^5}.
Logo a relação fica
\frac{(y-x)x^4}{(y+3x)^5}=C x^4.
Se x\neq 0 pode-se cancelar x^4 e obtemos a forma implícita mais simples da solução geral:
\frac{y-x}{(y+3x)^5}=C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Devemos ainda mencionar soluções especiais que apareceram durante o cálculo. Ao resolver para v constante (isto é, tentar y=kx com k constante) encontramos as raízes de (v+3)(v-1)=0, ou seja v=1 e v=-3. Essas correspondem às retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-3x.
  • A solução y=x corresponde à escolha C=0 na família \dfrac{y-x}{(y+3x)^5}=C.
  • A solução y=-3x faz o denominador anular e não é representada por um C finito na expressão anterior, mas é solução válida da ED (verificação direta: para y=-3x tem-se \dfrac{dy}{dx}=-3 e o lado direito também resulta em -3). Portanto y=-3x é uma solução singular que deve ser listada separadamente.
Observações finais sobre domínios: a dedução assumiu x\neq 0 ao cancelar x^4; para x=0 trata-se de ponto isolado do domínio (soluções que passam por x=0 precisam de cuidado). Além disso, onde y+3x=0 a forma com potências pode ser singular; já tratamos y=-3x como solução especial.

Resposta

\frac{y-x}{(y+3x)^5}=C
y=x
y=-3x

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