Resolva as equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A variável dependente é
e a independente é . - A razão entre polinômios em
e está escrita no lado direito. - Há pontos em que o denominador
se anula; nesses pontos a expressão para não é válida (serão tratados como situações especiais se necessário).
Passo 2
Vamos fazer uma substituição clássica para equações em que a razão do lado direito depende de
e
apenas através da relação
. Introduzimos a variável auxiliar
por
Explico por que isso é útil: se a expressão do lado direito for função de
apenas, a substituição transforma a ED em uma equação em
e
que costuma ser separável. Agora calcule a derivada de
:
pois ao derivar
usamos a regra do produto.
Passo 3
Substitui-se
na expressão do lado direito:
Agora igualamos com a expressão da derivada:
Isolando
:
Fazendo a subtração no lado direito com denominador comum
:
Note que o numerador pode ser fatorado:
Portanto
Passo 4
Vamos separar as variáveis para integrar. Passando todos os termos em
Aqui o objetivo é integrar a função racional do lado esquerdo. Para isso usamos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando pelos denominadores:
Igualando coeficientes do polinômio:
Resolvendo: somando as equações obtemos
. Logo
. Assim
Passo 5
Integramos ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração. Multiplicando tudo por
para simplificar:
com
. Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando:
onde
é uma constante arbitrária não nula (o sinal absoluto pode ser absorvido em
). Para simplificar a escrita podemos escrever
Passo 6
Voltando à variável original
com
. Substituindo:
Simplificando o lado esquerdo:
Logo a relação fica
Se
pode-se cancelar
e obtemos a forma implícita mais simples da solução geral:
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Devemos ainda mencionar soluções especiais que apareceram durante o cálculo. Ao resolver para
constante (isto é, tentar
com
constante) encontramos as raízes de
, ou seja
e
. Essas correspondem às retas
- A solução
corresponde à escolha na família . - A solução
faz o denominador anular e não é representada por um finito na expressão anterior, mas é solução válida da ED (verificação direta: para tem-se e o lado direito também resulta em ). Portanto é uma solução singular que deve ser listada separadamente.
Observações finais sobre domínios: a dedução assumiu
ao cancelar
; para
trata-se de ponto isolado do domínio (soluções que passam por
precisam de cuidado). Além disso, onde
a forma com potências pode ser singular; já tratamos
como solução especial.