Resolva as equações diferenciais homogêneas: \frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}.
O que se quer é encontrar a solução geral y(x), isto é, todas as funções y (dependendo de uma constante arbitrária) que satisfazem essa igualdade para x em um intervalo apropriado. As informações dadas são apenas a própria equação, sem condições iniciais.
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma que possamos integrar. Observe que o lado direito é uma razão de expressões lineares em x e y. Uma substituição útil nesses casos é escrever y como múltiplo de x:
y = v(x)\,x,
onde v(x) é uma nova função desconhecida. Aqui a ideia é reduzir a equação em y(x) para uma equação em v(x). Não se preocupe com o porquê agora — vamos mostrar passo a passo.
Passo 3
Calcule \dfrac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Pela regra do produto:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\big(vx\big) = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{x+3(vx)}{x-(vx)}=\frac{1+3v}{1-v},
onde em cada fração dividi numerador e denominador por x (assumindo x\neq0 momentaneamente para manipular as razões).
Passo 4
Isolando x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v}{1-v}-v.
Façamos a subtração no lado direito passo a passo:
As parcelas \ln|x| aparecem em ambos os lados e se cancelam, restando
-\frac{2x}{x+y}-\ln|x+y|=C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante arbitrária, chegamos à forma explícita mais limpa da solução geral:
\ln|x+y|+\frac{2x}{x+y}=C,
onde C é constante arbitrária.
Passo 9
Devemos verificar soluções singulares que a manipulação pode ter perdido. Ao separar variáveis, assumimos v+1\neq0 (ou seja, x+y\neq0). Verifique y=-x (v=-1) diretamente na equação original:
se y=-x então \dfrac{dy}{dx}=-1 e
Portanto y=-x é uma solução particular (solução singular) que não está contida na solução implícita porque nela aparece \ln|x+y|. Também verifique x=0 separadamente se necessário para condições iniciais, mas a solução geral dada vale em intervalos onde x+y\neq0 e x\neq0 (podendo estender-se por continuidade quando apropriado).