Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}.
O que se quer é encontrar a solução geral y(x), isto é, todas as funções y (dependendo de uma constante arbitrária) que satisfazem essa igualdade para x em um intervalo apropriado. As informações dadas são apenas a própria equação, sem condições iniciais.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma que possamos integrar. Observe que o lado direito é uma razão de expressões lineares em x e y. Uma substituição útil nesses casos é escrever y como múltiplo de x:
y = v(x)\,x,
onde v(x) é uma nova função desconhecida. Aqui a ideia é reduzir a equação em y(x) para uma equação em v(x). Não se preocupe com o porquê agora — vamos mostrar passo a passo.

Passo 3

Calcule \dfrac{dy}{dx} em termos de v e dv/dx. Pela regra do produto:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\big(vx\big) = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{x+3(vx)}{x-(vx)}=\frac{1+3v}{1-v},
onde em cada fração dividi numerador e denominador por x (assumindo x\neq0 momentaneamente para manipular as razões).

Passo 4

Isolando x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v}{1-v}-v.
Façamos a subtração no lado direito passo a passo:
\frac{1+3v}{1-v}-v=\frac{1+3v-v(1-v)}{1-v}=\frac{1+3v-v+v^2}{1-v}=\frac{1+2v+v^2}{1-v}=\frac{(v+1)^2}{1-v}.
Portanto obtemos a equação separável
x\frac{dv}{dx}=\frac{(v+1)^2}{1-v}.

Passo 5

Separe as variáveis v e x:
\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. É importante fazer a integral no lado esquerdo com cuidado; vamos desenvolver isso passo a passo.

Passo 6

Calcule a integral à esquerda. Para simplificar, faça a mudança u=v+1, então du=dv e 1-v=2-u. Substituindo:
\int\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv=\int\frac{2-u}{u^2}\,du=\int\left(2u^{-2}-u^{-1}\right)du.
Integre termo a termo:
\int 2u^{-2}\,du=-2u^{-1},\qquad \int -u^{-1}\,du=-\ln|u|.
Somando,
\int\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv=-\frac{2}{u}-\ln|u|+C=-\frac{2}{v+1}-\ln|v+1|+C.
Do lado direito,
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.

Passo 7

Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma só constante arbitrária C):
-\frac{2}{v+1}-\ln|v+1|=\ln|x|+C.
Agora retornamos à variável original y, lembrando que v=\dfrac{y}{x} e, portanto, v+1=\dfrac{x+y}{x}.

Passo 8

Substitua v+1=\dfrac{x+y}{x} na expressão integrada e simplifique passo a passo:
-\frac{2}{v+1}=-\frac{2}{(x+y)/x}=-\frac{2x}{x+y},
-\ln|v+1|=-\ln\left|\frac{x+y}{x}\right|=-\ln|x+y|+\ln|x|.
Substituindo essas expressões em
-\frac{2}{v+1}-\ln|v+1|=\ln|x|+C,
obtém-se
-\frac{2x}{x+y}-\ln|x+y|+\ln|x|=\ln|x|+C.
As parcelas \ln|x| aparecem em ambos os lados e se cancelam, restando
-\frac{2x}{x+y}-\ln|x+y|=C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante arbitrária, chegamos à forma explícita mais limpa da solução geral:
\ln|x+y|+\frac{2x}{x+y}=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 9

Devemos verificar soluções singulares que a manipulação pode ter perdido. Ao separar variáveis, assumimos v+1\neq0 (ou seja, x+y\neq0). Verifique y=-x ( v=-1) diretamente na equação original:
se y=-x então \dfrac{dy}{dx}=-1 e
\frac{x+3y}{x-y}=\frac{x+3(-x)}{x-(-x)}=\frac{-2x}{2x}=-1.
Portanto y=-x é uma solução particular (solução singular) que não está contida na solução implícita porque nela aparece \ln|x+y|. Também verifique x=0 separadamente se necessário para condições iniciais, mas a solução geral dada vale em intervalos onde x+y\neq0 e x\neq0 (podendo estender-se por continuidade quando apropriado).

Resposta

\ln|x+y|+\dfrac{2x}{x+y}=C
y=-x

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