Resolva as equações diferenciais homogêneas a seguir:
2 t y d t-\left(t^{2}-y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2\,t\,y\,dt \;-\;\bigl(t^{2}-y^{2}\bigr)\,dy \;=\;0
que é homogênea de grau 2 em (t,y). Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,t,
onde v é função de t.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma \frac{dy}{dt}=\cdots. De
2\,t\,y\,dt = \bigl(t^{2}-y^{2}\bigr)\,dy
vem
\frac{dy}{dt} \;=\;\frac{2\,t\,y}{t^{2}-y^{2}}.
Com y=v\,t temos
\frac{dy}{dt} = v + t\,\frac{dv}{dt}.

Passo 3

Substituindo na expressão de \tfrac{dy}{dt}:
v + t\,\frac{dv}{dt} =\frac{2\,t\,(v\,t)}{t^{2}-(v\,t)^{2}} =\frac{2\,v\,t^{2}}{t^{2}(1-v^{2})} =\frac{2\,v}{1-v^{2}}.
Logo
t\,\frac{dv}{dt} =\frac{2\,v}{1-v^{2}}-v =\frac{2\,v - v(1-v^{2})}{1-v^{2}} =\frac{v(1+v^{2})}{1-v^{2}}.

Passo 4

Separamos variáveis em
\frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})}\,dv =\frac{dt}{t}.
Decompomos
\frac{1-v^{2}}{v(1+v^{2})} =\frac{1}{v}-\frac{2\,v}{1+v^{2}},
então
\int\Bigl(\frac{1}{v}-\frac{2\,v}{1+v^{2}}\Bigr)dv =\int\frac{dt}{t} \;\Longrightarrow\; \ln|v|-\ln\bigl(1+v^{2}\bigr) =\ln|t|+C.

Passo 5

Voltemos a (t,y):
\ln\frac{v}{1+v^{2}} =\ln t +C \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{1+v^{2}}=C\,t.
Como v=y/t,
\frac{\tfrac{y}{t}}{1+\bigl(\tfrac{y}{t}\bigr)^{2}} =C\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{t^{2}+y^{2}}=C.

Resposta

\frac{y}{t^{2}+y^{2}} = C,
onde C é constante de integração.

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