(6,0) Resolva as Equações Diferenciais:
\left(1+e^{x} y+x e^{x} y\right)+\left(x e^{x}+2\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(1 + e^x y + x e^x y) + (x e^x + 2)\frac{dy}{dx} = 0.
Reconhecemos essa equação na forma
M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx} = 0,
onde vamos verificar se é exata e, em seguida, obter a solução geral por função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 1 + e^x y + x e^x y, \quad N(x,y) = x e^x + 2.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = e^x + x e^x = e^x(1+x), \quad \frac{\partial N}{\partial x} = e^x + x e^x = e^x(1+x).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a forma diferencial é exata.

Passo 3

Procuramos uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y) = \int\bigl(1 + e^x y + x e^x y\bigr)\,dx = x + y e^x + y\bigl(x e^x - e^x\bigr) + h(y) = x + x y e^x + h(y).

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial F}{\partial y} = x e^x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = x e^x + 2.
Isso implica h'(y) = 2, logo h(y) = 2y.

Passo 5

A função potencial fica
F(x,y) = x + x y e^x + 2y,
e a solução implícita geral é
F(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad x + x y e^x + 2y = C.

Passo 6

Resolvendo para y, temos
(x e^x + 2)\,y = C - x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{C - x}{x e^x + 2}.

Passo 7

Aplicando a condição inicial (6,0), substituímos x=6 e y=0 em x + x y e^x + 2y = C, obtendo
C = 6.

Resposta

y(x) = \frac{6 - x}{x e^x + 2}.

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