Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=\sin (x), \quad x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=\sin(x),\quad x>0,
que é linear no formato
y'+p(x)\,y=q(x),
com p(x)=2/x e q(x)=\sin(x). Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) a partir de
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(2\ln x\bigr) =x^2.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^2, obtendo
x^2y'+2x\,y=x^2\sin(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto x^2y, pois
\bigl(x^2y\bigr)'=x^2y'+2x\,y.
Logo a equação vira
\bigl(x^2y\bigr)'=x^2\sin(x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y=\int x^2\sin(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para achar \displaystyle\int x^2\sin(x)\,dx fazemos integração por partes duas vezes. Seja u=x^2, dv=\sin(x)\,dx, então du=2x\,dx, v=-\cos(x). Temos
\int x^2\sin(x)\,dx =-x^2\cos(x)+\int 2x\cos(x)\,dx.
Agora aplique partes em \displaystyle\int x\cos(x)\,dx com u=x, dv=\cos(x)\,dx, obtendo
\int x\cos(x)\,dx =x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx =x\sin(x)+\cos(x).
Portanto
\int x^2\sin(x)\,dx =-x^2\cos(x)+2\bigl(x\sin(x)+\cos(x)\bigr) =-x^2\cos(x)+2x\sin(x)+2\cos(x).

Passo 6

Voltando à expressão para y:
x^2y=-x^2\cos(x)+2x\sin(x)+2\cos(x)+C,
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y(x) =\frac{-x^2\cos(x)+2x\sin(x)+2\cos(x)+C}{x^2} =-\cos(x)+\frac{2\sin(x)}{x}+\frac{2\cos(x)}{x^2}+\frac{C}{x^2}.

Resposta

\boxed{y(x)=-\cos(x)+\frac{2\sin(x)}{x}+\frac{2\cos(x)}{x^2}+\frac{C}{x^2},\quad C\in\mathbb{R}.}

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