Resolva as equações diferenciais lineares por fator de integração:
d yd x=-y+e^3 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = -y + e^3x,
que é uma equação linear da forma
dydx + P(x),y = Q(x)
Aqui temos P(x)=1 e Q(x)=e^3x. Para resolver, vamos usar o método do fator de integração.

Passo 2

Calculamos o fator de integração mu(x) que satisfaz
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicamos toda a equação original por mu(x), obtendo
e^xdydx + e^xy = e^xe^3x = e^4x
O lado esquerdo é agora a derivada de mu(x),y.

Passo 3

Reconhecemos
ddxl(e^xyr) = e^xdydx + e^xy
Portanto a equação fica
ddxl(e^xyr) = e^4x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^xyr),dx = integral e^4x,dx Longrightarrow e^xy = 14e^4x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, isolamos y:
y = e^-xl(tfrac14 e^4x + Cr) = tfrac14 e^3x + C e^-x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = 14e^3x + C e^-x,
onde C é constante arbitrária.

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