Resolva as integrais abaixo:
integral sec ^4 x tg^3 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral:
integral sec^4 x tan^3 x , dx
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente as funções sec x e tan x. Para resolver essa integral, vamos usar técnicas de substituição, que ajudam a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a expressão da integral de uma maneira que facilite a aplicação da substituição. Observe que podemos separar tan^3 x em tan^2 x cdot tan x. Então, temos:
integral sec^4 x cdot tan^2 x cdot tan x , dx
Sabemos de identidade trigonométrica que:
tan^2 x = sec^2 x - 1
Substituindo isso na integral:
integral sec^4 x (sec^2 x - 1) tan x , dx

Passo 3

Agora, vamos preparar a expressão para a substituição. Vamos escolher uma parte da integral para ser substituída por uma nova variável. Vamos definir:
u = sec x
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = sec x tan x
Ou seja:
du = sec x tan x , dx

Passo 4

Observando a integral, notamos que temos um tan x sec x , dx, que corresponde ao du que acabamos de encontrar. Vamos ajustar a integral para usar essa substituição.
Reescrevendo a integral com u = sec x e du = sec x tan x , dx:
integral sec^4 x (sec^2 x - 1) tan x , dx = integral u^4 (u^2 - 1) cdot duu

Passo 5

Simplificando a expressão na integral:
integral u^4 (u^2 - 1) cdot 1u , du = integral (u^5 - u^4) cdot 1u , du = integral (u^4 - u^3) , du
Agora, a integral está em termos de u, o que facilita a resolução.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du - integral u^3 , du = u^55 - u^44 + C
Aqui, C é a constante de integração que aparece em integrais indefinidas.

Passo 7

Finalmente, substituímos u = sec x de volta na expressão para retornar à variável original x:
(sec x)^55 - (sec x)^44 + C
Simplificando a notação:
sec^5 x5 - sec^4 x4 + C

Resposta

A integral é igual a
sec^5 x5 - sec^4 x4 + C

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