Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente as funções
e
. Para resolver essa integral, vamos usar técnicas de substituição, que ajudam a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a expressão da integral de uma maneira que facilite a aplicação da substituição. Observe que podemos separar
em
. Então, temos:
Sabemos de identidade trigonométrica que:
Substituindo isso na integral:
Passo 3
Agora, vamos preparar a expressão para a substituição. Vamos escolher uma parte da integral para ser substituída por uma nova variável. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Ou seja:
Passo 4
Observando a integral, notamos que temos um
, que corresponde ao
que acabamos de encontrar. Vamos ajustar a integral para usar essa substituição.
Reescrevendo a integral com
e
:
Passo 5
Simplificando a expressão na integral:
Agora, a integral está em termos de
, o que facilita a resolução.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Aqui,
é a constante de integração que aparece em integrais indefinidas.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão para retornar à variável original
:
Simplificando a notação:
Resposta
A integral é igual a