Verificar se as equações abaixo são homogêneas e resovê-las.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem
é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é equação homogênea do tipo
pois uma função
é homogênea de grau zero se
.
Passo 2
Vamos definir
Para checar a homogeneidade, considere
:
Como
, concluímos que
é homogênea de grau zero e, portanto, a equação é homogênea.
Passo 3
No método para equações homogêneas, fazemos a mudança de variável
onde
. Então
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Reorganizando os termos, isolamos
:
Agora podemos separar variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 5
Integramos:
Na integral à esquerda fazemos
,
, daí
À direita vem
. Juntando:
Passo 6
Exponenciando,
. Absorvendo o sinal em
, escrevemos
Voltando a
:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A equação é homogênea e sua solução geral é
com
constante de integração.