Verificar se as equações abaixo são homogêneas e resovê-las.
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{x}
é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é equação homogênea do tipo
\frac{dy}{dx}=f\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),
pois uma função f(x,y) é homogênea de grau zero se f(tx,ty)=f(x,y).

Passo 2

Vamos definir
f(x,y)=\frac{x-y}{x}=1-\frac{y}{x}.
Para checar a homogeneidade, considere f(tx,ty):
f(tx,ty)=1-\frac{ty}{tx}=1-\frac{y}{x}=f(x,y).
Como f(tx,ty)=f(x,y), concluímos que f é homogênea de grau zero e, portanto, a equação é homogênea.

Passo 3

No método para equações homogêneas, fazemos a mudança de variável
y=vx,
onde v=v(x). Então
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx}=1-\frac{y}{x}=1-v, obtemos
v + x\frac{dv}{dx}=1-v.

Passo 4

Reorganizando os termos, isolamos \frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=1-2v \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{1-2v}=\frac{dx}{x}.
Agora podemos separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 5

Integramos:
\int \frac{dv}{1-2v} = \int \frac{dx}{x}.
Na integral à esquerda fazemos u=1-2v, du=-2\,dv, daí
\int \frac{dv}{1-2v}=-\tfrac12\int\frac{du}{u}=-\tfrac12\ln\bigl|u\bigr| + C =-\tfrac12\ln\bigl|1-2v\bigr|+C.
À direita vem \ln|x|+C. Juntando:
-\tfrac12\ln\bigl|1-2v\bigr|=\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|1-2v\bigr|=-2\ln|x|+C_1.

Passo 6

Exponenciando, |1-2v|=C_2\,x^{-2}. Absorvendo o sinal em C_2, escrevemos
1-2v = \frac{C}{x^2}.
Voltando a v=y/x:
1-2\frac{y}{x}=\frac{C}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x-2y=\frac{C}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x}{2}-\frac{C}{2x},
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A equação é homogênea e sua solução geral é
\boxed{y=\frac{x}{2}-\frac{C}{2x},}
com C constante de integração.

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