Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem abaixo:
13 y^prime+y=4 x e^-3 xx^2+1.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver a equação diferencial linear de primeira ordem tfrac13y'+y=tfrac4x e^-3xx^2+1. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação em forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Multiplicando tudo por 3, obtemos: y'+3y=12x e^-3xx^2+1

Passo 3

Agora vamos achar o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral3,dx=e^3x Esse fator transforma o lado esquerdo em derivada de produto.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):

Passo 5

e^3xy'+3e^3xy=12xx^2+1

Passo 6

O lado esquerdo é (e^3xy)', então integramos:

Passo 7

integral (e^3xy)',dx=integral12xx^2+1,dx

Passo 8

No lado direito, usamos integral12xx^2+1,dx=6integral2xx^2+1,dx=6ln(x^2+1)+C

Passo 9

Logo,

Passo 10

e^3xy=6ln(x^2+1)+C

Passo 11

Por fim, isolamos y:

Passo 12

y=e^-3xl(6ln(x^2+1)+Cr)

Passo 13

Essa é a solução geral da equação.

Resposta

y(x)=e^-3xl(6ln(x^2+1)+Cr), onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados