(2,0) Resolva o problema de valor inicial abaixo:
l y^prime=x e^x+cos (x)y(1+y^2), y(0)=1

Passo 1

O problema dá a EDO com condição inicial y' = x e^x + cos(x)y(1+y^2),; y(0)=1. O conteúdo aqui é separação de variáveis: vamos precisar separar y e x, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo para separar variáveis, multiplicamos ambos os lados por y(1+y^2) e por dx:
y(1+y^2),dy = l(xe^x + cos xr),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado esquerdo temos
integral y(1+y^2),dy = integral l(y + y^3r),dy
e no direito
integral l(xe^x + cos xr),dx = integral x e^x,dx + integral cos x,dx
Para integral x e^x,dx usamos integração por partes.

Passo 4

Calculando as primitivas: no lado esquerdo
integral l(y + y^3r),dy = tfrac12 y^2 + tfrac14 y^4
No lado direito,
integral x e^x,dx = x e^x - e^x,
integral cos x,dx = sin x
Logo
tfrac12 y^2 + tfrac14 y^4 = e^x(x-1) + sin x + C

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
no lado esquerdo tfrac12cdot1^2 + tfrac14cdot1^4 = tfrac34,
no direito e^0(0-1)+sin0 + C = -1 + C. Assim
tfrac34 = -1 + C implies C = tfrac74

Passo 6

Substituindo C obtemos a solução implícita
tfrac12 y^2 + tfrac14 y^4 = e^x(x-1) + sin x + tfrac74
Podemos multiplicar por 4 e resolver para y. O resultado no ramo positivo (que satisfaz y(0)=1) é
y(x) = raiz-1 + raiz4e^x(x-1) + 4sin x + 8

Resposta

y(x) = raiz-1 + raiz4e^x(x-1) + 4sin x + 8

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