Resolva o problema de valor inicial:
e^{x-y} y^{\prime}=1 ; y=1 quando x=1$

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de primeira ordem
Conteúdo: ED separável.
Precisamos usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Começamos escrevendo a ED em forma explícita para separar as variáveis. Partindo de
e^x - yy' = 1
temos
y' = dydx = e^y - x
Agora separamos as variáveis de modo que todo termo em y fique de um lado e em x do outro:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por e^-y e por dx obtemos
e^-y,dy = e^-x,dx
Integramos cada lado:

Passo 4

Do lado esquerdo:
integral e^-y,dy = -e^-y + C1,
Do lado direito:
integral e^-x,dx = -e^-x + C2
Igualando e absorvendo as constantes em uma só C:
-e^-y = -e^-x + C implies e^-y = e^-x + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1 em
e^-y = e^-x + C,
temos
e^-1 = e^-1 + C implies C = 0
Logo a constante desaparece e
e^-y = e^-x

Passo 6

Tomando logaritmo ou reconhecendo a igualdade dos expoentes, concluímos
-y = -x implies y = x
Assim obtemos a solução particular do problema de valor inicial.

Resposta

y = x

Exercícios relacionados