Resolva o problema de valor inicial:
e^{x-y} y^{\prime}=1 ; y=1
x=1$
e^{x-y} y^{\prime}=1 ; y=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial de primeira ordem
Conteúdo: ED separável.
Precisamos usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Começamos escrevendo a ED em forma explícita para separar as variáveis. Partindo de
temos
Agora separamos as variáveis de modo que todo termo em y fique de um lado e em x do outro:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Integramos cada lado:
Passo 4
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Igualando e absorvendo as constantes em uma só
:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
temos
Logo a constante desaparece e
Passo 6
Tomando logaritmo ou reconhecendo a igualdade dos expoentes, concluímos
Assim obtemos a solução particular do problema de valor inicial.
Resposta
y = x