Resolva as equa’ções diferenciais não homogêneas abaixo:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=2 x^{2}-3 x+6;

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' - 2y = 2x^2 - 3x + 6.
O método consiste em duas etapas principais: primeiro encontramos a solução geral y_h da equação homogênea associada, depois achamos uma solução particular y_p usando coeficientes a determinar. A solução geral será
y(x) = y_h(x) + y_p(x).

Passo 2

Vamos à parte homogênea
y'' + 4y' - 2y = 0.
Achar os \emph{autovalores} de r^2 + 4r - 2=0.
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}.
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y_h(x) = C_1 e^{(-2+\sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2-\sqrt{6})x}.

Passo 3

Para a parte particular, o lado direito é um polinômio de grau 2, então supomos
y_p(x) = Ax^2 + Bx + C.
Calculamos as derivadas:
y_p'(x) = 2Ax + B, \quad y_p''(x) = 2A.
Substituindo na equação original:
y_p'' + 4y_p' - 2y_p = 2A + 4(2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C).
Expandindo e coletando termos em x^2, x e termo constante:
-2A\,x^2 + (8A - 2B)\,x + (2A + 4B - 2C) \;=\; 2x^2 - 3x + 6.

Passo 4

Igualamos coeficientes em cada potência de x:
\begin{cases} -2A = 2,\\\\ 8A - 2B = -3,\\\\ 2A + 4B - 2C = 6. \end{cases}
Resolvendo:
A = -1, \quad 8(-1) - 2B = -3 \;\Rightarrow\; -8 - 2B = -3 \;\Rightarrow\; B = -\tfrac{5}{2},
2(-1) + 4\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) - 2C = 6 \;\Rightarrow\; -2 -10 - 2C = 6 \;\Rightarrow\; C = -9.
Assim
y_p(x) = -x^2 - \tfrac{5}{2}x - 9.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{(-2+\sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2-\sqrt{6})x} \;-\; x^2 - \tfrac{5}{2}x - 9.

Resposta

y(x) = C_1 e^{(-2+\sqrt{6})x} + C_2 e^{(-2-\sqrt{6})x} - x^2 - \tfrac{5}{2}x - 9.

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