Sejam F_{1} e F_{2} pontos do plano tais que d\left(F_{1}, F_{2}\right)=2 c>0 e a>0 um número real positivo. Considere o conjunto
\mathcal{C}=\left\{P ; d\left(P, F_{1}\right)+d\left(P, F_{2}\right)=2 a\right\}
Vimos no texto que se a>c, então \mathcal{C} é uma elipse. Determine o conjunto \mathcal{C} quando a=c e quando a<c.

Passo 1

O enunciado define o lugar geométrico
\mathcal{C}=\bigl\{P\;;\;d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a\bigr\}
onde F_{1},F_{2} estão a uma distância d(F_{1},F_{2})=2c. Já sabemos que se a>c então \mathcal{C} é uma elipse. Para os casos a=c e a<c vamos usar a desigualdade triangular, que diz
d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\;\ge\;d(F_{1},F_{2})=2c,
com igualdade se, e somente se, P estiver no segmento [F_{1}F_{2}].

Passo 2

Caso a=c.
Então 2a=2c e a condição
d(P,F_{1})+d(P,F_{2})=2a=2c
é exatamente a igualdade na desigualdade triangular. Logo os pontos P que satisfazem isso são precisamente aqueles que estão sobre o segmento de reta que une F_{1} a F_{2}. Portanto
\mathcal{C}=\{P\;;\;P\text{ pertence ao segmento }F_{1}F_{2}\}.

Passo 3

Caso a<c.
Aqui 2a<2c. Mas por desigualdade triangular temos sempre
d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\;\ge\;2c>2a,
ou seja, não existe P que torne o somatório igual a 2a. Então
\mathcal{C}=\varnothing.

Resposta

Para a=c, \mathcal{C} é o segmento de reta que liga F_{1} a F_{2}.
Para a<c, \mathcal{C} é o conjunto vazio.

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