Resolva os Problemas de Valor Inicial abaixo, relacionados equações diferenciais homogêneas:
\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' + 6y' + 5y = 0,\\\ y(0)=0,\;y'(0)=3. \end{cases}
Este é um caso de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 6r + 5 = 0.
Resolvendo em r, temos
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} =\frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} =\frac{-6 \pm 4}{2}.
Logo os dois raízes são
r_1 = -1, \quad r_2 = -5.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-5t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos y'(t) para usar a condição y'(0)=3:
y'(t) = -C_1 e^{-t} - 5C_2 e^{-5t}.
Em t=0, as condições iniciais dão
y(0)=C_1 + C_2 = 0, \qquad y'(0) = -C_1 - 5C_2 = 3.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\\\ -\,C_1 - 5C_2 = 3, \end{cases}
da primeira equação vem C_2 = -C_1. Substituindo na segunda,
-\,C_1 - 5(-C_1) = 3 \;\Longrightarrow\; 4C_1 = 3 \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac{3}{4}, \quad C_2 = -\tfrac{3}{4}.
Assim a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(t) = \frac{3}{4}e^{-t} - \frac{3}{4}e^{-5t}.

Resposta

y(t) = \frac{3}{4}\,e^{-t} \;-\;\frac{3}{4}\,e^{-5t}.

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