Resolva os Problemas de Valor Inicial abaixo, relacionados equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um caso de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo em
, temos
Logo os dois raízes são
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculamos
para usar a condição
:
Em
, as condições iniciais dão
Passo 5
Resolvendo o sistema
da primeira equação vem
. Substituindo na segunda,
Assim a solução particular que satisfaz as condições iniciais é