Resolva os Problemas de Valor Inicial abaixo, relacionados equações diferenciais não homogêneas:
\left\{\begin{array}{c}2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-2 y=14 x^{2}-4 x-11 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
2y''+3y'-2y = 14x^2 - 4x - 11,\quad y(0)=1,\;y'(0)=0
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. A estratégia é: (1) achar a solução geral da equação homogênea, (2) encontrar uma solução particular da não homogênea, e (3) usar as condições iniciais para determinar as constantes livres.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
2y''+3y'-2y=0.
Escrevendo a equação característica em r:
2r^2+3r-2=0.
Resolvendo:
r = \frac{-3\pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3\pm5}{4},
logo
r_1 = \tfrac12,\quad r_2 = -2.
A solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{\tfrac{x}{2}} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_p da forma polinomial de grau 2,
y_p(x)=Ax^2+Bx+C.
Então
y_p'(x)=2Ax+B,\quad y_p''(x)=2A.
Substituindo em 2y''+3y'-2y = 14x^2-4x-11:
2(2A)+3(2Ax+B)-2(Ax^2+Bx+C) =\,-2A\,x^2+(6A-2B)\,x+(4A+3B-2C).
Devemos ter
-2A=14,\quad 6A-2B=-4,\quad 4A+3B-2C=-11.
Dessas equações segue
A=-7,\quad B=-19,\quad C=-37.
Portanto
y_p(x) = -7x^2 - 19x - 37.

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{\tfrac{x}{2}} + C_2 e^{-2x} -7x^2 -19x -37.
Agora usamos as condições y(0)=1\) e \(y'(0)=0\). Primeiro \[y(0) = C_1 + C_2 -37 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 38.
Em seguida calculamos
y'(x) = \tfrac{C_1}{2}e^{\tfrac{x}{2}} -2C_2 e^{-2x} -14x -19,
logo em x=0:
y'(0) = \tfrac{C_1}{2} -2C_2 -19 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{C_1}{2} -2C_2 = 19 \quad\Longrightarrow\quad C_1 -4C_2 = 38.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 38,\\\ C_1 -4C_2 = 38, \end{cases}
vemos que C_2=0\] e \(C_1=38.

Resposta

y(x) = 38\,e^{\tfrac{x}{2}} \;-\;7x^2 \;-\;19x \;-\;37.

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