Resolva os Problemas de Valor Inicial abaixo, relacionados equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. A estratégia é: (1) achar a solução geral da equação homogênea, (2) encontrar uma solução particular da não homogênea, e (3) usar as condições iniciais para determinar as constantes livres.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Escrevendo a equação característica em
:
Resolvendo:
logo
A solução geral da homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
da forma polinomial de grau 2,
Então
Substituindo em
:
Devemos ter
Dessas equações segue
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Agora usamos as condições
Em seguida calculamos
logo em
:
Resolvendo o sistema
vemos que
.