Resolva as equações diferenciais: OBS: C e A são constantes arbitrárias.
y^prime=x-1+x y-y;

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' = x - 1 + x,y - y,
que é uma equação diferencial de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos pôr na forma padrão
y' + p(x),y = q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo, temos
y' - (x-1),y = x-1,
ou seja p(x)=-(x-1) e q(x)=x-1. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -(x-1),dxr) = expl(-tfracx^22+xr)

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x), obtendo
mu(x),y' - mu(x)(x-1),y = mu(x)(x-1)
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(mu(x),yr),
logo
ddxl(mu(x),yr) = mu(x)(x-1)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(mu,yr),dx = integral mu(x)(x-1),dx
Como
mu(x)(x-1) = -ddx[mu(x)],
segue
integral mu(x)(x-1),dx = -mu(x) + C
Portanto
mu(x),y = -mu(x) + C

Passo 5

Isolando y, dividimos por mu(x):
y = -1 + C,mu(x)^-1 = -1 + C,expl(tfracx^22-xr)

Resposta

y(x) = -1 + C,e^x^22-x,
onde C é constante arbitrária.

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