Resolva as equações diferenciais: OBS: C e A são constantes arbitrárias.
e^x+2 y d x-e^2 x-y d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
e^x+2y,dx - e^2x - y,dy = 0,
onde C e A são constantes arbitrárias. O conteúdo que vamos usar é o método de separação de variáveis, pois podemos escrever a equação na forma
dydx=g(x),h(y)

Passo 2

Colocamos a equação na forma de derivada explícita:
e^x+2y,dx = e^2x - y,dy Longrightarrow dydx = e^x+2ye^2x - y = e^-x+3y

Passo 3

Separamos as variáveis, isolando os termos em y de um lado e em x do outro:
dydx = e^-x+3y Longrightarrow e^-3y,dy = e^-x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^-3y,dy = integral e^-x,dx Longrightarrow -tfrac13e^-3y = -e^-x + A,
onde A é constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por -3 e redefinindo a constante, obtemos a forma implícita da solução geral:
e^-3y = 3e^-x + C,
onde C=-3A. Em forma explícita para y:
y = -tfrac13lnl(3e^-x + Cr)

Resposta

A solução geral é
e^-3y - 3e^-x = C ou y = -tfrac13lnl(3e^-x + Cr),
com C constante arbitrária.

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