Resolva as equações diferenciais: OBS: C e A são constantes arbitrárias.
Sen(3 x) d x+2 y Cos^3(3 x) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
sin(3x),dx + 2,y,cos^3(3x),dy = 0
Esse tipo de equação é separável, ou seja, dá para agrupar termos em x de um lado e termos em y do outro. Vamos usar identidades trigonométricas e integrar em cada variável.

Passo 2

Reescrevemos agrupando x de um lado e y do outro:
sin(3x),dx = -2,y,cos^3(3x),dy Longrightarrow sin(3x)cos^3(3x),dx = -2,y,dy
Usamos sin(3x)cos^3(3x) = tan(3x),sec^2(3x).

Passo 3

Integramos em x:
integral tan(3x),sec^2(3x),dx
Façamos a substituição u = sec(3x), logo du = 3,sec(3x)tan(3x),dx, ou
sec(3x)tan(3x),dx = tfrac13,du.
Assim,
integral tan(3x),sec^2(3x),dx = integral sec(3x)l[sec(3x)tan(3x),dxr] = integral sec(3x),13,du = 13integral u,du = 16,u^2 = 16,sec^2(3x)

Passo 4

Integramos em y:
integral -2,y,dy = -y^2 + C,
onde C é constante de integração (que depois podemos chamar de outra letra).

Passo 5

Igualando os dois resultados de integração:
16,sec^2(3x) = -y^2 + C Longrightarrow y^2 + 16,sec^2(3x) = C
Multiplicando tudo por 6 e redefinindo a constante A=6C, obtemos a forma mais limpa:
sec^2(3x) + 6,y^2 = A,
com A constante arbitrária.

Resposta

boxedsec^2(3x) + 6,y^2 = A

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