Resolva as equações diferenciais ordinárias.
y^{2} d y+y d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{2}\,dy + y\,dx - x\,dy = 0
que é uma equação de primeira ordem em forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Vamos verificar se ela é exata e, se não for, buscar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Escrevendo na forma M\,dx + N\,dy=0, temos
M(x,y)=y, \quad N(x,y)=y^{2}-x.
Para checar exatidão, calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x)=-1.
Como 1\neq -1, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que seja função de y apenas. A condição geral é
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} \text{ deve depender só de }y.ó
Aqui
\frac{-1 - 1}{y} = -\frac{2}{y},
que de fato depende apenas de y. Logo um fator integrante é
\mu(y) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{2}{y}\,dy\Bigr) =\exp(-2\ln|y|) =\frac{1}{y^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(y)=1/y^{2}. Isso dá
\frac{y}{y^{2}}\,dx + \frac{y^{2}-x}{y^{2}}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dx + \Bigl(1 - \frac{x}{y^{2}}\Bigr)\,dy = 0.
Chamando
\widetilde M(x,y)=\frac{1}{y}, \quad \widetilde N(x,y)=1-\frac{x}{y^{2}},
verificamos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =-\frac{1}{y^{2}}, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =-\frac{1}{y^{2}},
portanto agora é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} =\widetilde M=\frac{1}{y}, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} =\widetilde N=1-\frac{x}{y^{2}}.
Integramos \Psi_x=1/y em relação a x:
\Psi(x,y)=\int \frac{1}{y}\,dx =\frac{x}{y}+h(y).
Derivando essa \Psi em relação a y:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =-\frac{x}{y^{2}} + h'(y)
deve ser igual a 1 - x/y^{2}. Igualando,
-\frac{x}{y^{2}} + h'(y) =1 - \frac{x}{y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y.
Logo
\Psi(x,y)=\frac{x}{y}+y.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\frac{x}{y}+y=C,
onde C é constante de integração.

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