Resolva as equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é uma equação de primeira ordem em forma diferencial
. Vamos verificar se ela é exata e, se não for, buscar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Escrevendo na forma
, temos
Para checar exatidão, calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que seja função de
apenas. A condição geral é
Aqui
que de fato depende apenas de
. Logo um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
. Isso dá
Chamando
verificamos a exatidão:
portanto agora é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando essa
em relação a
:
deve ser igual a
. Igualando,
Logo
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante de integração.