Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:

Passo 1

O exercício nos dá a equação diferencial de primeira ordem não exata (1 - x y) + (x y - x^2) y' = 0, ou seja, no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. O conteúdo envolve equações exatas e fator integrante; vamos precisar identificar um fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 2

Identificamos as funções M(x,y) = 1 - x y e N(x,y) = x y - x^2. Para verificar exatidão calculamos My = partial/partial y(1 - x y) = -x e Nx = partial/partial x(x y - x^2) = y - 2x. Como My neq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa apenas de x. Uma pista clássica é checar (My - Nx)/N:
My - NxN = -x - (y - 2x)x y - x^2 = x - yx(y - x) = -1x

Passo 4

Como (My - Nx)/N = -1/x depende apenas de x, o fator integrante é
mu(x) = e^integral -1/x,dx = e^-ln|x| = 1x

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x:
l(1 - x yxr)dx + l(x y - x^2xr)dy = 0
que simplifica para
l(tfrac1x - yr)dx + (y - x)dy = 0,

Passo 6

e agora é exata, pois
$$\partial_y(\tfrac1x - y) = -1,\
\partial_x(y - x) = -1.$$

Passo 7

Para encontrar a função potencial psi(x,y) tal que psix = 1/x - y e psiy = y - x, integramos em relação a x:
psi(x,y) = integrall(tfrac1x - yr)dx = ln|x| - x y + h(y)

Passo 8

Derivando em relação a y e igualando a psiy = y - x
psiy = -x + h'(y) = y - x implies h'(y) = y implies h(y) = tfracy^22

Passo 9

Portanto, a função potencial é
psi(x,y) = ln|x| - x y + tfracy^22

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é dada por psi(x,y) = C.

Resposta

ln|x| - x y + \tfrac{y^2}{2} = C

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