Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O exercício nos dá a equação diferencial de primeira ordem não exata
, ou seja, no formato
. O conteúdo envolve equações exatas e fator integrante; vamos precisar identificar um fator integrante para tornar a equação exata.
Passo 2
Identificamos as funções
e
. Para verificar exatidão calculamos
e
. Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa apenas de
. Uma pista clássica é checar
:
Passo 4
Como
depende apenas de
, o fator integrante é
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
que simplifica para
Passo 6
e agora é exata, pois
$$\partial_y(\tfrac1x - y) = -1,\
\partial_x(y - x) = -1.$$
Passo 7
Para encontrar a função potencial
tal que
e
, integramos em relação a
:
Passo 8
Derivando em relação a
e igualando a
dá
Passo 9
Portanto, a função potencial é
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é dada por
.
Resposta
ln|x| - x y + \tfrac{y^2}{2} = C