Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(yx+6 x) d x+(ln x-2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
l(yx+6xr),dx + (ln x - 2),dy = 0
verificando se ela é exata e, caso não seja, determinando um fator integrante. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos testar exatidão e, sendo exata, encontrar a função potencial.

Passo 2

Denotando
M(x,y)=yx+6x, N(x,y)=ln x - 2,
calculamos
partial Mpartial y=1x, partial Npartial x=1x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata e não precisamos de fator integrante.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y) e partial psipartial y=N(x,y)
Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(yx+6xr),dx = yln x +3x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para ajustar h(y), usamos
partial psipartial y = ln x + h'(y) stackrel!=N(x,y)=ln x -2,
logo h'(y)=-2 e
h(y)=-2y
Assim
psi(x,y)=yln x +3x^2 -2y
é constante ao longo das soluções.

Resposta

yln x -2y +3x^2 = C, onde C é constante de integração.

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